(Hipergeométrica) Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se 5 bolas são retiradas sem reposição, qual é a variância da distribuição de bolas brancas retiradas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma urna com 10 bolas brancas e 20 bolas pretas, totalizando 30 bolas. A gente vai retirar 5 bolas dessa urna sem colocar de volta. O que a gente precisa descobrir é a variância da distribuição das bolas brancas que a gente retira. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Hipergeométrica e fórmulas de variância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Distribuição Hipergeométrica. Ela é usada quando a gente tem uma população finita com dois tipos de elementos (neste caso, bolas brancas e pretas) e queremos saber a probabilidade de retirar um certo número de um tipo específico sem reposição.
Aqui, nossos parâmetros são:
- N (tamanho da população) = 10 bolas brancas + 20 bolas pretas = 30 bolas
- K (número de elementos de sucesso na população) = 10 bolas brancas
- n (tamanho da amostra) = 5 bolas retiradas
Passo 3
A fórmula para a variância
na Distribuição Hipergeométrica é:
Vamos agora substituir os valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte passo a passo:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar tudo junto:
Vamos multiplicar os números:
Convertendo para decimal:
Resposta
A variância da distribuição de bolas brancas retiradas é aproximadamente 0,957.