(Hipergeométrica) Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se 5 bolas são retiradas sem reposição, qual é a variância da distribuição de bolas brancas retiradas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma urna com 10 bolas brancas e 20 bolas pretas, totalizando 30 bolas. A gente vai retirar 5 bolas dessa urna sem colocar de volta. O que a gente precisa descobrir é a variância da distribuição das bolas brancas que a gente retira. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Hipergeométrica e fórmulas de variância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Distribuição Hipergeométrica. Ela é usada quando a gente tem uma população finita com dois tipos de elementos (neste caso, bolas brancas e pretas) e queremos saber a probabilidade de retirar um certo número de um tipo específico sem reposição.
Aqui, nossos parâmetros são:
  • N (tamanho da população) = 10 bolas brancas + 20 bolas pretas = 30 bolas
  • K (número de elementos de sucesso na população) = 10 bolas brancas
  • n (tamanho da amostra) = 5 bolas retiradas

Passo 3

A fórmula para a variância Var(X) = n times ( KN ) times ( 1 - KN ) times ( N - nN - 1 ) na Distribuição Hipergeométrica é:
Var(X) = 5 times ( 1030 ) times ( 1 - 1030 ) times ( 30 - 530 - 1 )
Vamos agora substituir os valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. 1030 = 13 :
1 - 13 = 23
  1. 30 - 530 - 1 = 2529 :
  1. :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar tudo junto:
Var(X) = 5 times 13 times 23 times 2529
Vamos multiplicar os números:
5 times 13 = 53
53 times 23 = 109
109 times 2529 = 250261
Convertendo para decimal:
250261 approx 0,957

Resposta

A variância da distribuição de bolas brancas retiradas é aproximadamente 0,957.

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