(Uniforme) Uma variável aleatória contínua X é uniformemente distribuída no intervalo [1,5]. Qual é a probabilidade de X ser maior que 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória contínua chamada que segue uma distribuição uniforme no intervalo . A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de ser maior que 3. Para isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição uniforme e como calcular probabilidades nesse tipo de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme contínua. Essa distribuição é chamada assim porque todas as possibilidades dentro do intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrência. Ou seja, não há partes mais “prováveis” que outras dentro do intervalo .

Passo 3

A fórmula da função densidade de probabilidade para uma distribuição uniforme contínua é:
f(x) = 1b - a & se a <= x <= b, 0 & caso contrário á
No nosso caso, f(x) = 15 - 1 = 14 & se 1 <= x <= 5, 0 & caso contrário e , então a função fica:
á

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de ser maior que 3, ou seja, , vamos calcular a área sob a curva da função densidade de 3 até 5.
Como a distribuição é uniforme, a probabilidade é proporcional ao comprimento do intervalo onde estamos calculando a probabilidade.

Passo 5

Vamos calcular o comprimento do intervalo onde 5 - 3 = 2 :
5 - 1 = 4
O comprimento total do intervalo onde está definido é:

Passo 6

Agora, a probabilidade de P(X > 3) = 24 = 0,5 é a razão entre o comprimento do intervalo onde e o comprimento total do intervalo:

Resposta

A probabilidade de ser maior que 3 é 0,5 ou 50%.

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