Pelo histórico da secretaria de saúde pública de um determinado município, obteve-se a informação de que um indivíduo qualquer da sua população contrair gripe em no período de um ano é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro
. Calcule a probabilidade de que um indivíduo qualquer nessa cidade contraia gripe:
a) No máximo uma vez em um ano.
b) Nenhuma vez no ano.
c) Exatamente 3 vezes em um ano.
d) Entre 3 e 5 vezes em um ano.
a) No máximo uma vez em um ano.
b) Nenhuma vez no ano.
c) Exatamente 3 vezes em um ano.
d) Entre 3 e 5 vezes em um ano.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata da distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de ocorrências de um evento que acontece de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. No nosso caso, queremos calcular a probabilidade de um indivíduo contrair gripe em um ano, sabendo que a média de ocorrências é
. Para resolver, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson:
onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente vezes, -
é a média de ocorrências, -
é a base do logaritmo natural, -
é o fatorial de .
Passo 2
Vamos resolver a letra a) Calcular a probabilidade de que um indivíduo contraia gripe no máximo uma vez em um ano. Isso significa que queremos a probabilidade de ocorrer 0 vezes ou 1 vez.
Usando a fórmula de Poisson:
Calculando cada termo:
Somando as probabilidades:
Passo 3
Agora, vamos resolver a letra b) Calcular a probabilidade de que um indivíduo não contraia gripe nenhuma vez no ano. Isso significa encontrar
.
Já calculamos anteriormente:
Passo 4
Vamos para a letra c) Calcular a probabilidade de que um indivíduo contraia gripe exatamente 3 vezes em um ano. Aqui, queremos
.
Aplicando a fórmula de Poisson:
Passo 5
Por fim, vamos resolver a letra d) Calcular a probabilidade de que um indivíduo contraia gripe entre 3 e 5 vezes em um ano. Isso significa calcular
.
Já temos
.
Calculando
:
Calculando
:
Somando as probabilidades:
Resposta
a) A probabilidade de contrair gripe no máximo uma vez em um ano é aproximadamente 0,0404 ou 4,04%.
b) A probabilidade de não contrair gripe nenhuma vez no ano é aproximadamente 0,0067 ou 0,67%.
c) A probabilidade de contrair gripe exatamente 3 vezes em um ano é aproximadamente 0,1404 ou 14,04%.
d) A probabilidade de contrair gripe entre 3 e 5 vezes em um ano é aproximadamente 0,4914 ou 49,14%.