Pelo histórico da secretaria de saúde pública de um determinado município, obteve-se a informação de que um indivíduo qualquer da sua população contrair gripe em no período de um ano é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro lambda=5. Calcule a probabilidade de que um indivíduo qualquer nessa cidade contraia gripe:
a) No máximo uma vez em um ano.
b) Nenhuma vez no ano.
c) Exatamente 3 vezes em um ano.
d) Entre 3 e 5 vezes em um ano.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata da distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de ocorrências de um evento que acontece de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. No nosso caso, queremos calcular a probabilidade de um indivíduo contrair gripe em um ano, sabendo que a média de ocorrências é lambda = 5. Para resolver, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • P(k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k vezes,
  • lambda é a média de ocorrências,
  • e é a base do logaritmo natural,
  • k! é o fatorial de k.

Passo 2

Vamos resolver a letra a) Calcular a probabilidade de que um indivíduo contraia gripe no máximo uma vez em um ano. Isso significa que queremos a probabilidade de ocorrer 0 vezes ou 1 vez.
Usando a fórmula de Poisson:
P(k <= 1) = P(0) + P(1)
Calculando cada termo:
P(0) = 5^0 e^-50! = 1 cdot e^-51 = e^-5 approx 0,0067
P(1) = 5^1 e^-51! = 5 cdot e^-51 = 5e^-5 approx 0,0337
Somando as probabilidades:
P(k <= 1) = 0,0067 + 0,0337 = 0,0404

Passo 3

Agora, vamos resolver a letra b) Calcular a probabilidade de que um indivíduo não contraia gripe nenhuma vez no ano. Isso significa encontrar P(0).
Já calculamos anteriormente:
P(0) = e^-5 approx 0,0067

Passo 4

Vamos para a letra c) Calcular a probabilidade de que um indivíduo contraia gripe exatamente 3 vezes em um ano. Aqui, queremos P(3).
Aplicando a fórmula de Poisson:
P(3) = 5^3 e^-53! = 125 cdot e^-56 approx 125 cdot 0,00676 approx 0,1404

Passo 5

Por fim, vamos resolver a letra d) Calcular a probabilidade de que um indivíduo contraia gripe entre 3 e 5 vezes em um ano. Isso significa calcular P(3) + P(4) + P(5).
Já temos P(3) approx 0,1404.
Calculando P(4):
P(4) = 5^4 e^-54! = 625 cdot e^-524 approx 625 cdot 0,006724 approx 0,1755
Calculando P(5):
P(5) = 5^5 e^-55! = 3125 cdot e^-5120 approx 3125 cdot 0,0067120 approx 0,1755
Somando as probabilidades:
P(3 <= k <= 5) = 0,1404 + 0,1755 + 0,1755 = 0,4914

Resposta

a) A probabilidade de contrair gripe no máximo uma vez em um ano é aproximadamente 0,0404 ou 4,04%.
b) A probabilidade de não contrair gripe nenhuma vez no ano é aproximadamente 0,0067 ou 0,67%.
c) A probabilidade de contrair gripe exatamente 3 vezes em um ano é aproximadamente 0,1404 ou 14,04%.
d) A probabilidade de contrair gripe entre 3 e 5 vezes em um ano é aproximadamente 0,4914 ou 49,14%.

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