Segundo dados de uma rede local, ocorreram 45 falhas de serviço no último ano. Calcule:
a) Recalcule o parâmetro para se conhecer o número médio de falhas por semana.
b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma falha?
c) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas?
d) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de haver no máximo 1 falha?
e) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais falhas?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma rede local que teve 45 falhas de serviço no último ano. A gente vai usar o Conteúdo de Probabilidade e Distribuições de Probabilidade, especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e independentemente do tempo desde o último evento.

Passo 2

Primeiro, vamos recalcular o parâmetro , que representa o número médio de falhas por semana. Sabemos que houve 45 falhas no ano. Para achar a média por semana, precisamos dividir esse número pelo número de semanas no ano.

Passo 3

Agora que temos , vamos para a parte b). Queremos a probabilidade de não haver nenhuma falha em uma semana típica. Usamos a fórmula da distribuição de Poisson:
Para :

Passo 4

Na parte c), precisamos achar a probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas em uma semana típica. Aqui, usamos a soma das probabilidades de variar de 10 a 20:
Como é 0,865, calcular cada termo individualmente pode ser trabalhoso, mas geralmente usamos uma calculadora ou software para isso. No entanto, como é bem menor que 10, essa probabilidade será praticamente zero.

Passo 5

Para a parte d), queremos a probabilidade de haver no máximo 1 falha em uma semana típica. Isso inclui e :
Já temos . Agora, calculamos :
Somando:

Passo 6

Por fim, na parte e), queremos a probabilidade de haver duas ou mais falhas em um dia típico. Primeiro, precisamos achar por dia. Sabemos que por semana é aproximadamente 0,865. Se considerarmos que uma semana tem 7 dias, então:
Agora, queremos em um dia típico. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter menos de 2 falhas:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

a) O parâmetro recalculado para o número médio de falhas por semana é aproximadamente 0,865 falhas por semana.
b) A probabilidade de não haver nenhuma falha em uma semana típica é aproximadamente 42,0%.
c) A probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas em uma semana típica é praticamente 0%.
d) A probabilidade de haver no máximo 1 falha em uma semana típica é aproximadamente 78,5%.
e) A probabilidade de haver duas ou mais falhas em um dia típico é aproximadamente 0,6%.

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