Segundo dados de uma rede local, ocorreram 45 falhas de serviço no último ano. Calcule:
a) Recalcule o parâmetro lambda para se conhecer o número médio de falhas por semana.
b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma falha?
c) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas?
d) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de haver no máximo 1 falha?
e) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais falhas?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma rede local que teve 45 falhas de serviço no último ano. A gente vai usar o Conteúdo de Probabilidade e Distribuições de Probabilidade, especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e independentemente do tempo desde o último evento.

Passo 2

Primeiro, vamos recalcular o parâmetro lambda, que representa o número médio de falhas por semana. Sabemos que houve 45 falhas no ano. Para achar a média por semana, precisamos dividir esse número pelo número de semanas no ano.
lambdasemana = 45 falhas52 semanas approx 0,865 falhas por semana

Passo 3

Agora que temos lambda approx 0,865, vamos para a parte b). Queremos a probabilidade de não haver nenhuma falha em uma semana típica. Usamos a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
Para k = 0:
P(0; 0,865) = 0,865^0 e^-0,8650! = e^-0,865 approx 0,420

Passo 4

Na parte c), precisamos achar a probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas em uma semana típica. Aqui, usamos a soma das probabilidades de k variar de 10 a 20:
P(10 <= k <= 20) = sumk=10^20 lambda^k e^-lambdak!
Como lambda é 0,865, calcular cada termo individualmente pode ser trabalhoso, mas geralmente usamos uma calculadora ou software para isso. No entanto, como lambda é bem menor que 10, essa probabilidade será praticamente zero.

Passo 5

Para a parte d), queremos a probabilidade de haver no máximo 1 falha em uma semana típica. Isso inclui k = 0 e k = 1:
P(k <= 1) = P(0; lambda) + P(1; lambda)
Já temos P(0; 0,865) approx 0,420. Agora, calculamos P(1; 0,865):
P(1; 0,865) = 0,865^1 e^-0,8651! = 0,865 times e^-0,865 approx 0,365
Somando:
P(k <= 1) approx 0,420 + 0,365 = 0,785

Passo 6

Por fim, na parte e), queremos a probabilidade de haver duas ou mais falhas em um dia típico. Primeiro, precisamos achar lambda por dia. Sabemos que lambda por semana é aproximadamente 0,865. Se considerarmos que uma semana tem 7 dias, então:
lambdadia = 0,8657 approx 0,124
Agora, queremos P(k >= 2) em um dia típico. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter menos de 2 falhas:
P(k >= 2) = 1 - P(0; 0,124) - P(1; 0,124)
Calculando cada termo:
P(0; 0,124) = e^-0,124 approx 0,884
P(1; 0,124) = 0,124 times e^-0,124 approx 0,110
Então:
P(k >= 2) = 1 - 0,884 - 0,110 = 0,006

Resposta

a) O parâmetro lambda recalculado para o número médio de falhas por semana é aproximadamente 0,865 falhas por semana.
b) A probabilidade de não haver nenhuma falha em uma semana típica é aproximadamente 42,0%.
c) A probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas em uma semana típica é praticamente 0%.
d) A probabilidade de haver no máximo 1 falha em uma semana típica é aproximadamente 78,5%.
e) A probabilidade de haver duas ou mais falhas em um dia típico é aproximadamente 0,6%.

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