Ônibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7 horas da manhã ( , etc). Se o horário de chegada de um determinado passageiro ao ponto segue uma distribuição uniforme entre 7 h05 e 7 h 30 , determine a probabilidade de que:
a) ele espere menos que 5 minutos até a chegada de um ônibus.
b) ele espere mais de 10 minutos até a chegada de um ônibus.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos ônibus que chegam a cada 15 minutos a partir das 7 horas da manhã, ou seja, às 7:00, 7:15, 7:30, 7:45, e assim por diante. Um passageiro chega no ponto de parada em um horário que pode ser qualquer minuto entre 7:05 e 7:30, e esse horário de chegada é distribuído de forma uniforme. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que esse passageiro espere menos de 5 minutos para pegar o ônibus (parte a) e mais de 10 minutos (parte b). Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição uniforme e calcular áreas de probabilidades dentro do intervalo de tempo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o intervalo de tempo em que o passageiro pode chegar: entre 7:05 e 7:30, ou seja, entre 5 e 30 minutos após as 7 horas. Como os ônibus chegam a cada 15 minutos, os horários de chegada dos ônibus dentro desse intervalo são às 7:15 (15 minutos) e às 7:30 (30 minutos).

Passo 3

Vamos analisar o tempo de espera do passageiro. Se ele chegar entre 7:05 e 7:15, o próximo ônibus chega às 7:15. Se chegar entre 7:15 e 7:30, o próximo ônibus é às 7:30. O tempo de espera, portanto, depende de quando ele chega dentro desse intervalo.

Passo 4

Como a chegada do passageiro é uniforme, cada minuto dentro do intervalo de 5 a 30 minutos tem a mesma probabilidade de ocorrência. A distribuição uniforme tem uma densidade de probabilidade constante, o que facilita o cálculo das probabilidades desejadas.

Passo 5

Vamos calcular a parte a): a probabilidade de esperar menos que 5 minutos. Isso significa que o passageiro deve chegar dentro dos últimos 5 minutos antes da chegada do ônibus. Por exemplo, se ele chegar entre 7:10 e 7:15, ele esperará menos de 5 minutos para o ônibus das 7:15. O mesmo vale entre 7:25 e 7:30 para o ônibus das 7:30.

Passo 6

Dentro do intervalo total de 25 minutos (de 5 a 30 minutos), temos dois intervalos de 5 minutos onde o tempo de espera é menor que 5 minutos: de 10 a 15 minutos e de 25 a 30 minutos. Então, a probabilidade é a soma dessas duas áreas dividida pelo intervalo total.

Passo 7

Calculando:

Passo 8

Agora, vamos para a parte b): a probabilidade de esperar mais de 10 minutos. Isso significa que o passageiro chega logo após um ônibus ter partido, precisando esperar mais tempo até o próximo.

Passo 9

Vamos considerar novamente os horários dos ônibus: 7:15 e 7:30. Se o passageiro chega entre 7:05 e 7:15, esperar mais de 10 minutos significa chegar entre 7:05 e 7:05 (na verdade, ele teria que esperar 15 minutos, mas isso é apenas um ponto). Entre 7:15 e 7:30, esperar mais de 10 minutos significa chegar entre 7:15 e 7:20.

Passo 10

Mas isso não está totalmente correto. Vamos pensar de outra forma: para esperar mais de 10 minutos, o passageiro deve chegar no período onde o próximo ônibus ainda está a mais de 10 minutos de distância.

Passo 11

Entre 7:05 e 7:15:
  • Se chegar entre 7:05 e 7:05, espera 10 minutos (exatamente).
  • Se chega entre 7:05 e 7:05, espera entre 10 e 15 minutos.
Entre 7:15 e 7:30:
  • Se chega entre 7:15 e 7:20, espera entre 10 e 15 minutos.
  • Se chega entre 7:20 e 7:30, espera menos que 10 minutos.

Passo 12

Então, os intervalos onde a espera é maior que 10 minutos são:
  • De 5 a 10 minutos após as 7:00 (7:05 a 7:10)
  • De 15 a 20 minutos após as 7:00 (7:15 a 7:20)

Passo 13

Calculando a probabilidade:

Resposta

A probabilidade de que o passageiro espere mais de 10 minutos até a chegada de um ônibus é de 40%.

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