A Holanda é o pais com a maior média de alturas do mundo, já a Bolívia é a penúltima menor altura. Em uma amostra com 21 holandeses (X) constatou-se uma média de 1,80 m e cujo o desvio padrão amostral de 0,35 m. Em uma amostra com 21 bolivianos ( Y ) constatou-se uma média
de 1,55 m e cujo o desvio padrão amostral de 0,37 m. Construa um Intervalo de Confiança com nível de 95 % para a diferença das médias das alturas populacionais considerando:
(a) As variâncias populacionais desconhecidas e iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas amostras: uma de 21 holandeses com altura média de e desvio padrão de , e outra de 21 bolivianos com altura média de e desvio padrão de . A gente quer construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas dessas duas populações, assumindo que as variâncias populacionais são desconhecidas, mas iguais. Para isso, vamos usar a teoria de intervalo de confiança para a diferença entre duas médias com variâncias iguais, utilizando a distribuição t.

Passo 2

Primeiro, como as variâncias são desconhecidas e iguais, a gente calcula o desvio padrão combinado, também conhecido como desvio padrão “pool”. A fórmula para o desvio padrão combinado ( Sp = raiz (nX - 1)SX^2 + (nY - 1)SY^2nX + nY - 2 ) é:
Onde:
  • e são os tamanhos das amostras.
  • e são os desvios padrão das amostras.

Passo 3

Vamos calcular Sp = raiz (21 - 1)(0,35)^2 + (21 - 1)(0,37)^221 + 21 - 2 = raiz 20 times 0,1225 + 20 times 0,136940 = raiz 2,45 + 2,73840 = raiz 5,18840 approx raiz0,1297 approx 0,360 , m :

Passo 4

Agora, a gente calcula o erro padrão da diferença das médias ( SE = Sp times raiz 1nX + 1nY = 0,360 times raiz 121 + 121 = 0,360 times raiz 221 approx 0,360 times 0,309 = 0,111 , m ):

Passo 5

Precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e graus de liberdade. Consultando a tabela t, ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 6

Agora, vamos calcular a margem de erro ( ME = t0,975 times SE = 2,021 times 0,111 approx 0,224 , m ):

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança para a diferença das médias ( (barX - barY) pm ME = (1,80 - 1,55) pm 0,224 = 0,25 pm 0,224 ):
[0,026 , m, , 0,474 , m]
Isso dá um intervalo de:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas é de aproximadamente a . Isso significa que, com 95% de confiança, a diferença média das alturas entre holandeses e bolivianos está entre 2,6 cm e 47,4 cm.

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A Holanda é o pais com a maior média de alturas do mundo, já a Bolívia é a penúltima menor altura. Em uma amostra com 21 holandeses (X) constatou-se uma média de 1,80 m e cujo o desvio padrão amostral de 0,35 m. Em uma amostra com 21 bolivianos ( Y ) constatou-se uma média
de 1,55 m e cujo o desvio padrão amostral de 0,37 m. Construa um Intervalo de Confiança com nível de 95 % para a diferença das médias das alturas populacionais considerando:
(b) As variâncias populacionais desconhecidas e diferentes.
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