Um homem está em um barco, remando contra a correnteza. Ao passar em um dado ponto, sua garrafa de guaraná cai no rio e é arrastada pela correnteza, distanciando-se do barco. Após 1,0 minuto, o homem nota esse triste fato e imediatamente dá uma volta no barco. Suponha que essa virada é instantânea. Remando da mesma forma que antes, agora a favor da correnteza, ele alcança a garrafa em um ponto que dista 2,0 quilômetros do ponto onde ela caiu, para um referencial fixo nas margens. Admita que a velocidade da correnteza seja constante e que a velocidade do barco, em relação às águas, tenha módulo constante e a mesma direção da velocidade da correnteza. A velocidade da correnteza tem módulo, em km/min, igual a?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que está acontecendo aqui! Temos um homem num barco que está remando contra a correnteza do rio. De repente, a garrafa dele cai na água e começa a ser levada pela corrente. Depois de 1 minuto, ele percebe que a garrafa caiu e imediatamente vira o barco pra remar a favor da correnteza. Ele acaba alcançando a garrafa a 2 quilômetros de onde ela caiu, considerando um ponto fixo na margem do rio. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da correnteza desse rio, medido em quilômetros por minuto (km/min).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento relativo e como as velocidades se combinam quando há correnteza envolvida. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos definir as velocidades envolvidas:
- $ v $: velocidade da correnteza do rio em km/min (o que queremos encontrar).
- $ v $: velocidade do barco em relação à água, que é igual à velocidade da correnteza e sempre na mesma direção da corrente.
Agora, vamos analisar os dois momentos principais:
- Antes de virar: O barco está remando contra a correnteza.
- Depois de virar: O barco está remando a favor da correnteza.
Passo 3
Vamos calcular quanto a garrafa se moveu na correnteza durante o tempo em que o homem não percebeu que ela caiu.
A garrafa caiu e foi levada pela correnteza durante 1 minuto antes do homem perceber e virar o barco. A distância que a garrafa percorre é dada por:
Então, a garrafa está a $ v $ quilômetros a jusante do ponto onde caiu após 1 minuto.
Passo 4
Agora, quando o homem vira o barco e começa a remar a favor da correnteza, ele está efetivamente se movendo com uma velocidade total de:
Isso porque o barco está remando na mesma direção da correnteza, então as velocidades se somam.
Passo 5
Enquanto o homem está voltando para alcançar a garrafa, a garrafa também continua sendo levada pela correnteza. Vamos considerar o tempo que ele leva para alcançar a garrafa.
Como a garrafa já estava $ v $ km a jusante após 1 minuto, e a distância total onde ele a alcança é 2 km do ponto de queda, a garrafa percorreu mais $ 2v $ km enquanto o homem remia para alcançá-la.
Então, a distância total percorrida pela garrafa é:
Onde $ t $ é o tempo que o homem leva para alcançar a garrafa após virar.
Passo 6
Sabemos que o barco está se movendo a $ 2v $ km/min e percorre 2 km para alcançar a garrafa. Então, podemos relacionar tempo e velocidade:
Passo 7
Agora, vamos substituir o valor de $ t $ na equação da distância da garrafa:
Simplificando:
Resposta
A velocidade da correnteza é 1 km/min.