O movimento de uma bola de golfe é influenciado não só pela força gravitacional como também pela resistência do ar. Essa força retardadora atua no sentido oposto ao da velocidade da bola. Em um estudo realizado durante uma partida de golfe, observou-se que, quando foi considerada a força de resistência do ar, a distância horizontal d(t), em metros, percorrida por uma bola em função do tempo t, em segundos, a partir do instante em que a bola foi lançada (t = 0), era dada por d(t) = 50(1 − e−0,1t) . Use: ln 2 = 0,7. A partir dessas informações, conclui-se que, para que a bola percorra uma distância, na horizontal, de 25 m, o tempo gasto a partir do instante do lançamento é de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma bola de golfe que é afetado pela gravidade e pela resistência do ar. A gente precisa usar a fórmula que relaciona a distância horizontal percorrida pela bola com o tempo, que é $ d(t) = 50(1 - e^{-0,1t}) $. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo a bola leva para percorrer 25 metros na horizontal. Para isso, vamos precisar resolver essa equação para encontrar o valor de $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que temos: $ d(t) = 50(1 - e^{-0,1t}) $. Aqui, $ d(t) $ é a distância percorrida em função do tempo $ t $. A parte $ e^{-0,1t} $ representa a influência da resistência do ar, que faz com que a bola desacelere com o tempo. Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $ quando $ d(t) = 25 $ metros.

Passo 3

Vamos substituir $ d(t) $ por 25 na equação:
d(t)

Passo 4

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por 50 para isolar a parte exponencial:
2550 = 1 - e^-0,1t
0,5 = 1 - e^-0,1t

Passo 5

Subtraímos 1 de ambos os lados para isolar o termo com o expoente:
0,5 - 1 = - e^-0,1t
-0,5 = - e^-0,1t

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por -1 para simplificar:
0,5 = e^-0,1t

Passo 7

Agora, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para resolver a equação para $ t $:
t
Lembrando que $ \ln(e^x) = x $, então:
ln(0,5) = ln(e^-0,1t)

Passo 8

Nos foi dado que $ \ln(2) = 0,7 $. Sabemos que $ \ln(0,5) = \ln(1/2) = -\ln(2) $. Então:
ln(2) = 0,7

Passo 9

Agora, vamos resolver para $ t $:
t
Multiplicando ambos os lados por -1:
-0,7 = -0,1t
Dividindo ambos os lados por 0,1:
0,7 = 0,1t
t = 0,70,1

Resposta

O tempo gasto para a bola percorrer 25 metros na horizontal é de 7 segundos.

Exercícios relacionados