Temos duas urnas, A e B. De quantas formas podemos colocar 5 bolas indistinguíveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar vazia? Resp: 6

Passo 1

Então, a gente tem duas urnas, A e B, e cinco bolas que são todas iguais (indistinguíveis). A questão é descobrir de quantas maneiras a gente pode distribuir essas cinco bolas entre as duas urnas, lembrando que é possível que uma das urnas fique sem nenhuma bola. Vamos usar um pouco de combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como as bolas são indistinguíveis, o que importa é quantas bolas vão para cada urna, não quais exatamente. Vamos imaginar que a urna A recebe algumas bolas e a urna B recebe o restante.

Passo 3

Vamos chamar de o número de bolas que vão para a urna A. Como temos 5 bolas no total, a urna B vai receber bolas.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar todos os valores possíveis de . Como uma urna pode ficar vazia, pode ser 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.

Passo 5

Cada valor de representa uma distribuição diferente:
  • Se : A recebe 0 bolas e B recebe 5.
  • Se : A recebe 1 bola e B recebe 4.
  • Se : A recebe 2 bolas e B recebe 3.
  • Se : A recebe 3 bolas e B recebe 2.
  • Se : A recebe 4 bolas e B recebe 1.
  • Se : A recebe 5 bolas e B recebe 0.

Resposta

Temos 6 formas diferentes de distribuir as 5 bolas entre as duas urnas.

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