9 % dos homens e 0,25 % das mulheres não podem distinguir entre as cores vermelha e verde. Esse é o tipo de daltonismo que causa problemas com sinais de trânsito. Determine: Se são escolhidos aleatoriamente 6 homens para um estudo de percepção de sinais de trânsito, determine a probabilidade de que exatamente dois deles sejam daltônicos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma situação envolvendo probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial. O enunciado fala que 9% dos homens têm daltonismo que dificulta distinguir entre vermelho e verde. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao escolher aleatoriamente 6 homens para um estudo, exatamente 2 deles serem daltônicos?
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um determinado número de sucessos em uma série de experimentos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número total de tentativas (n): 6 homens.
  • Número de sucessos desejados (k): 2 homens daltônicos.
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 9%, ou seja, 0,09.
  • Probabilidade de falha (q): 1 - p = 0,91.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da distribuição binomial:
P(k) = C(n, k) times p^k times q^(n - k)
Onde:
  • C(n, k) = n!k! times (n - k)! é o número de combinações de n elementos tomados k a k, calculado por:

Passo 4

Vamos calcular C(6, 2) = 6!2! times (6 - 2)! = 7202 times 24 = 72048 = 15 :

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula da probabilidade:
P(2) = 15 times (0,09)^2 times (0,91)^4
Vamos calcular cada parte:

Passo 6

Multiplicando tudo:
P(2) = 15 times 0,0081 times 0,68574961 approx 15 times 0,005544366 approx 0,08316549

Resposta

A probabilidade de que exatamente dois dos seis homens escolhidos sejam daltônicos é aproximadamente 8,32%.

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