9 % dos homens e 0,25 % das mulheres não podem distinguir entre as cores vermelha e verde. Esse é o tipo de daltonismo que causa problemas com sinais de trânsito. Determine: E se forem escolhidas 6 mulheres, qual é a probabilidade de que 2 delas sejam daltônicas?

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Sabemos que 0,25% das mulheres têm daltonismo que dificulta distinguir entre vermelho e verde. A pergunta é: se a gente escolher 6 mulheres, qual a probabilidade de exatamente 2 delas serem daltônicas? Vamos precisar usar o conceito de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso, cada mulher pode ou não ser daltônica. As características para aplicar a fórmula binomial são:
  • Número de tentativas ( ): 6 mulheres.
  • Probabilidade de sucesso ( ): probabilidade de uma mulher ser daltônica, que é 0,25% ou 0,0025.
  • Número de sucessos desejados ( ): 2 mulheres daltônicas.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número de combinações de itens tomados a , que calcula quantas maneiras diferentes podemos ter sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos.
  • é a probabilidade de fracasso elevado ao número de fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Número de combinações ( C(6, 2) = 6!2! times (6 - 2)! = 7202 times 24 = 72048 = 15 ):
p^k = (0,0025)^2 = 0,00000625
  1. Probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos ( (1 - p)^6 - 2 = (0,9975)^4 approx 0,9900 ):
  1. Probabilidade de fracasso elevado ao número de fracassos ( ):

Passo 5

Agora, vamos multiplicar todas as partes para encontrar a probabilidade total:
P(2) = 15 times 0,00000625 times 0,9900 approx 0,0000928125

Resposta

A probabilidade de que, ao escolher 6 mulheres, exatamente 2 delas sejam daltônicas é aproximadamente 0,0093%.

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