Uma máquina tem uma probabilidade de 0,95 de produzir peças sem defeito. Se forem produzidas 10 peças, qual é a probabilidade de que exatamente 8 peças sejam sem defeito?

Passo 1

Então, a gente tem uma máquina que faz peças e que 95% delas saem sem defeito. A pergunta é: se a máquina faz 10 peças, qual a chance de exatamente 8 delas saírem sem defeito? Vamos usar a teoria de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do problema:
  • n: número total de tentativas (peças produzidas), que é 10.
  • k: número de sucessos que queremos, que é 8 peças sem defeito.
  • p: probabilidade de sucesso em uma única tentativa, que é 0,95.

Passo 3

A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, com probabilidade p de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  • Coeficiente binomial: binom108 = 10!8! times (10-8)! = 45
  • Probabilidade dos sucessos: 0,95^8
  • Probabilidade das falhas: (1-0,95)^2 = 0,05^2 = 0,0025

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo:
P(X = 8) = 45 times 0,95^8 times 0,0025
Calculando 0,95^8 approx 0,6634, então:
P(X = 8) = 45 times 0,6634 times 0,0025 approx 0,0748

Resposta

A probabilidade de que exatamente 8 das 10 peças sejam sem defeito é aproximadamente 7,48%.

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