Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(b) (1,1,0),(1,-1,1) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de vetores (1,1,0), (1,-1,1) em R^3 é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e teste de independência. Precisaremos montar uma equação que nos ajude a determinar se esses vetores são LI ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos:
c1 cdot v1 + c2 cdot v2 = 0
só tem solução quando c1 = 0 e c2 = 0.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores dados. Seja:
v1 = (1,1,0) v2 = (1,-1,1)
Queremos encontrar se existem escalares c1 e c2, diferentes de zero, que satisfaçam:
c1 cdot (1,1,0) + c2 cdot (1,-1,1) = (0,0,0)

Passo 4

Vamos escrever isso componente a componente:
  1. Para a primeira componente:
c1 cdot 1 + c2 cdot 1 = 0 Rightarrow c1 + c2 = 0 (1)
  1. Para a segunda componente:
c1 cdot 1 + c2 cdot (-1) = 0 Rightarrow c1 - c2 = 0 (2)
  1. Para a terceira componente:
c1 cdot 0 + c2 cdot 1 = 0 Rightarrow c2 = 0 (3)

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações:
  • Da equação (3), já sabemos que c2 = 0.
  • Substituindo c2 = 0 na equação (1):
c1 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0

Passo 6

Então, chegamos a c1 = 0 e c2 = 0. Isso significa que a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando ambos os coeficientes são zero. Não existe combinação não trivial que satisfaça a equação.

Resposta

O conjunto (1,1,0), (1,-1,1) em R^3 é linearmente independente, já que a única combinação linear que resulta no vetor zero ocorre quando todos os coeficientes são zero.

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