Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de vetores
em
é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e teste de independência. Precisaremos montar uma equação que nos ajude a determinar se esses vetores são LI ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos:
só tem solução quando
e
.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos vetores dados. Seja:
Queremos encontrar se existem escalares
e
, diferentes de zero, que satisfaçam:
Passo 4
Vamos escrever isso componente a componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Passo 5
Agora, vamos resolver essas equações:
- Da equação (3), já sabemos que
. - Substituindo
na equação (1):
Passo 6
Então, chegamos a
e
. Isso significa que a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando ambos os coeficientes são zero. Não existe combinação não trivial que satisfaça a equação.
Resposta
O conjunto
em
é linearmente independente, já que a única combinação linear que resulta no vetor zero ocorre quando todos os coeficientes são zero.