(a)
onde
é o caminho fechado formado por
e
no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de linha ao longo de um caminho fechado
formado pelas retas
,
,
e
, na direção anti-horária. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Vamos precisar identificar as funções que compõem a integral e aplicar o teorema para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Green, que diz que para um caminho fechado
que delimita uma região
, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla:
Isso vai facilitar porque calcular uma integral dupla sobre a região
pode ser mais simples.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença fica:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites da região
. Como
é o caminho fechado formado por
,
,
e
, estamos lidando com um quadrado onde
varia de 0 a 1 e
também de 0 a 1.
Então, a integral dupla fica:
Como a expressão não depende de
, podemos integrar primeiro em relação a
:
Então, a integral simplifica para:
Passo 6
Vamos separar a fração:
Agora, integramos termo a termo:
A primeira integral é padrão:
A segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Dada a função
, determine:
Dada a função
, determine: