(a)
onde é o caminho fechado formado por e no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de linha ao longo de um caminho fechado formado pelas retas , , e , na direção anti-horária. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Vamos precisar identificar as funções que compõem a integral e aplicar o teorema para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green, que diz que para um caminho fechado que delimita uma região , a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla:
Isso vai facilitar porque calcular uma integral dupla sobre a região pode ser mais simples.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença fica:

Passo 5

Agora, vamos definir os limites da região . Como é o caminho fechado formado por , , e , estamos lidando com um quadrado onde varia de 0 a 1 e também de 0 a 1.
Então, a integral dupla fica:
Como a expressão não depende de , podemos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos separar a fração:
Agora, integramos termo a termo:
A primeira integral é padrão:
A segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Assim:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Portanto:

Resposta

A integral vale .

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