(a)
I=integralC-x y1+x^2 d x+arctg(x) d y
onde C é o caminho fechado formado por y=0, x=1, y=1 e x=0 no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de linha ao longo de um caminho fechado formado pelas retas , , e , na direção anti-horária. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Vamos precisar identificar as funções que compõem a integral e aplicar o teorema para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções I = integralC ( -x y1 + x^2 ) dx + arctg(x) dy e P(x, y) = -x y1 + x^2 , Q(x, y) = arctg(x) na integral dada:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green, que diz que para um caminho fechado ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA que delimita uma região , a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla:
Isso vai facilitar porque calcular uma integral dupla sobre a região pode ser mais simples.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = ddx arctg(x) = 11 + x^2
Então, a diferença fica:
partial Ppartial y = ddy ( -x y1 + x^2 ) = -x1 + x^2

Passo 5

Agora, vamos definir os limites da região I = integral0^1 integral0^1 1 + x1 + x^2 , dy , dx . Como integral0^1 dy = 1 é o caminho fechado formado por I = integral0^1 1 + x1 + x^2 , dx , , e , estamos lidando com um quadrado onde varia de 0 a 1 e também de 0 a 1.
Então, a integral dupla fica:
Como a expressão não depende de , podemos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos separar a fração:
1 + x1 + x^2 = 11 + x^2 + x1 + x^2
Agora, integramos termo a termo:
I = integral0^1 11 + x^2 , dx + integral0^1 x1 + x^2 , dx
A primeira integral é padrão:
A segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja integral 11 + x^2 , dx = arctg(x) + C , então integral x1 + x^2 , dx = 12 ln|1 + x^2| + C , ou seja, . Assim:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
I = [ arctg(x) ]0^1 + 12 [ ln(1 + x^2) ]0^1
Portanto:
arctg(1) - arctg(0) = pi4 - 0 = pi4

Resposta

A integral vale .

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