Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades das séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita de termos que têm potências de , geralmente escrita assim:
onde são os coeficientes da série e é o centro da série.

Passo 3

No nosso caso, queremos uma série de potências centrada em 0 para a função . Sabemos que a série de Taylor para em torno de 0 é:
Isso significa que para , basta substituir por na série de Taylor de .

Passo 4

Fazendo a substituição, a série de potências para fica:
Essa é a representação que buscamos!

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.
Aplicando o teste da razão:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência é .

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, com
(a)
onde é o caminho fechado formado por e no sentido anti-horário.