Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
f(x) = { x, se -pi <= x < 0; 0, se 0 <= x < pi }, com f(x + 2 pi) = f(x)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico e determinar as séries de Fourier de uma função específica. A função dada é periódica com período e é definida por partes: para , , e para , . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . Para entre e 0, a função aumenta linearmente de a 0. Já para entre 0 e , a função é zero. Como a função se repete a cada , isso forma um padrão em dente de serra invertido.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a série de Fourier da função. Uma série de Fourier de uma função periódica com período é dada por:
Vamos calcular os coeficientes , e .

Passo 4

Primeiro, calculamos , que representa a média da função no intervalo:
Substituindo nos intervalos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que correspondem aos termos de cosseno:
Devido à simetria da função (ímpar no intervalo considerado), os coeficientes serão zero.

Passo 6

Por fim, calculamos os coeficientes , que são os termos de seno:
Substituindo :
Resolvendo a integral por partes:

Resposta

A série de Fourier da função é:

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