Mostre que M2(R) não é domínio.

Passo 1

Então, a gente vai mostrar que o conjunto das matrizes 2x2 com números reais, que a gente escreve como , não é um domínio. Isso significa que nesse conjunto, podemos encontrar matrizes diferentes de zero que, quando multiplicadas, dão a matriz zero. Para isso, vamos precisar entender o que é um domínio, o que são matrizes nulas e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um domínio. Um domínio, ou mais precisamente um domínio de integridade, é um tipo especial de anel onde não existem divisores de zero. Ou seja, se e são elementos desse anel e , então necessariamente ou .

Passo 3

Agora, no caso das matrizes , a gente sabe que a multiplicação de matrizes não é comutativa, mas isso não afeta diretamente nossa análise sobre ser ou não um domínio. O importante é verificar se existem duas matrizes não nulas cujo produto seja a matriz nula.

Passo 4

Vamos construir dois exemplos de matrizes 2x2 que não são nulas, mas cuja multiplicação dá a matriz nula:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1
Essas matrizes são diferentes da matriz zero, que seria:
0 = 0 & 0 0 & 0

Passo 5

Vamos multiplicar A cdot B = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 = (1 cdot 0 + 0 cdot 0) & (1 cdot 0 + 0 cdot 1) (0 cdot 0 + 0 cdot 0) & (0 cdot 0 + 0 cdot 1) = 0 & 0 0 & 0 = 0 por :
Viu só? As matrizes e são diferentes de zero, mas o produto delas deu a matriz zero.

Passo 6

Isso mostra que em existem divisores de zero, ou seja, matrizes não nulas que multiplicadas resultam na matriz nula. Portanto, não é um domínio.

Resposta

Assim, demonstramos que não é um domínio porque possui divisores de zero.

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