Mostre que
não é domínio.
Passo 1
Então, a gente vai mostrar que o conjunto das matrizes 2x2 com números reais, que a gente escreve como
, não é um domínio. Isso significa que nesse conjunto, podemos encontrar matrizes diferentes de zero que, quando multiplicadas, dão a matriz zero. Para isso, vamos precisar entender o que é um domínio, o que são matrizes nulas e como multiplicar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um domínio. Um domínio, ou mais precisamente um domínio de integridade, é um tipo especial de anel onde não existem divisores de zero. Ou seja, se
e
são elementos desse anel e
, então necessariamente
ou
.
Passo 3
Agora, no caso das matrizes
, a gente sabe que a multiplicação de matrizes não é comutativa, mas isso não afeta diretamente nossa análise sobre ser ou não um domínio. O importante é verificar se existem duas matrizes não nulas cujo produto seja a matriz nula.
Passo 4
Vamos construir dois exemplos de matrizes 2x2 que não são nulas, mas cuja multiplicação dá a matriz nula:
Essas matrizes são diferentes da matriz zero, que seria:
Passo 5
Vamos multiplicar
por
:
Viu só? As matrizes
e
são diferentes de zero, mas o produto delas deu a matriz zero.
Passo 6
Isso mostra que em
existem divisores de zero, ou seja, matrizes não nulas que multiplicadas resultam na matriz nula. Portanto,
não é um domínio.
Resposta
Assim, demonstramos que
não é um domínio porque possui divisores de zero.