(i) Lembre-se: uma função
é dita periódica de período
(ou apenas
-periódica) se existe um número real
tal que
para todo
. Observe que se uma função tem período
então
para todo
, ou seja, é também periódica de período
.
menor
é chamado de período fundamental de uma função
-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
d)
, para
.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
d)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
é periódica e, se for, encontrar o período fundamental dela. Para isso, vamos usar o conceito de periodicidade das funções trigonométricas, especialmente do cosseno, e entender como um deslocamento horizontal e uma multiplicação por uma constante afetam essa periodicidade.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a função cosseno básica,
, é periódica com período
. Isso significa que se você adiciona
ao argumento da função, ela se repete:
para todo
real.
Passo 3
Agora, na função dada
, temos um deslocamento horizontal de
unidades. Esse deslocamento é da forma
, onde
é a constante do deslocamento. Importante: esse deslocamento não altera o período da função. Ou seja, mesmo com o
dentro do cosseno, a periodicidade permanece a mesma.
Passo 4
Além do deslocamento, a função está multiplicada por
. Isso afeta a amplitude da função, fazendo com que ela oscile entre
e
ao invés de
e
. No entanto, a amplitude não interfere no período. Portanto, o fator
não muda o período da função cosseno.
Passo 5
Com base nisso, concluímos que:
- A função
é periódica. - O período fundamental dela é o mesmo da função cosseno padrão, ou seja,
.
Resposta
A função
é periódica e o seu período fundamental é
.