(i) Lembre-se: uma função f: R -> R é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que f(x + T) = f(x) para todo x em R. Observe que se uma função tem período T então f(x+n T) = f(x) para todo n em Z, ou seja, é também periódica de período n T. O menor T > 0 é chamado de período fundamental de uma função T-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
d) f(x) = 3 cos(x + 2), para x em R.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental dela. Para isso, vamos usar o conceito de periodicidade das funções trigonométricas, especialmente do cosseno, e entender como um deslocamento horizontal e uma multiplicação por uma constante afetam essa periodicidade.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função cosseno básica, , é periódica com período . Isso significa que se você adiciona ao argumento da função, ela se repete:
para todo real.

Passo 3

Agora, na função dada , temos um deslocamento horizontal de unidades. Esse deslocamento é da forma , onde é a constante do deslocamento. Importante: esse deslocamento não altera o período da função. Ou seja, mesmo com o dentro do cosseno, a periodicidade permanece a mesma.

Passo 4

Além do deslocamento, a função está multiplicada por . Isso afeta a amplitude da função, fazendo com que ela oscile entre e ao invés de e . No entanto, a amplitude não interfere no período. Portanto, o fator não muda o período da função cosseno.

Passo 5

Com base nisso, concluímos que:
  • A função é periódica.
  • O período fundamental dela é o mesmo da função cosseno padrão, ou seja, .

Resposta

A função é periódica e o seu período fundamental é .

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