(i) Lembre-se: uma função f: R -> R é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que f(x + T) = f(x) para todo x em R. Observe que se uma função tem período T então f(x+n T) = f(x) para todo n em Z, ou seja, é também periódica de período n T. O menor T > 0 é chamado de período fundamental de uma função T-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
a) f(x) = sen(2x), para x em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é periódica e, se for, encontrar o seu período fundamental. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o seno, e precisamos entender o que é periodicidade e como identificar o período de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica se existe um número tal que, para todo valor de , a função se repete a cada unidades. Ou seja, para todo .

Passo 3

A função que estamos analisando é . Sabemos que a função seno padrão, , tem período . Isso significa que para todo .

Passo 4

No caso de , temos uma função seno que foi “esticada” ou “comprimida” horizontalmente. A regra geral para encontrar o período de é dividir pelo valor de .

Passo 5

Aqui, . Então, o período será:

Passo 6

Isso significa que a função se repete a cada unidades. Portanto, ela é periódica e o seu período fundamental é .

Resposta

A função é periódica, e o seu período fundamental é .

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