(i) Lembre-se: uma função
é dita periódica de período
(ou apenas
-periódica) se existe um número real
tal que
para todo
. Observe que se uma função tem período
então
para todo
, ou seja, é também periódica de período
.
menor
é chamado de período fundamental de uma função
-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
a)
, para
.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é periódica e, se for, encontrar o seu período fundamental. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o seno, e precisamos entender o que é periodicidade e como identificar o período de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica se existe um número
tal que, para todo valor de
, a função se repete a cada
unidades. Ou seja,
para todo
.
Passo 3
A função que estamos analisando é
. Sabemos que a função seno padrão,
, tem período
. Isso significa que
para todo
.
Passo 4
No caso de
, temos uma função seno que foi “esticada” ou “comprimida” horizontalmente. A regra geral para encontrar o período de
é dividir
pelo valor de
.
Passo 5
Aqui,
. Então, o período
será:
Passo 6
Isso significa que a função
se repete a cada
unidades. Portanto, ela é periódica e o seu período fundamental é
.
Resposta
A função
é periódica, e o seu período fundamental é
.