Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que você trouxe. A questão fala sobre matrizes quadradas e autovetores/autovalores. A gente vai precisar entender um pouquinho sobre esses conceitos de álgebra linear pra resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Primeira afirmação: I - Se uma matriz quadrada tem autovetores então ela não tem inversa.
O que isso significa? Uma matriz ter autovetores significa que existe pelo menos um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz, resulta em um múltiplo desse próprio vetor. Já uma matriz ter inversa significa que ela não é singular, ou seja, seu determinante é diferente de zero.
Será que essas duas coisas estão relacionadas? Não exatamente. Ter autovetores não implica que a matriz seja singular. Por exemplo, a matriz identidade tem todos os vetores como autovetores e, ao mesmo tempo, ela é inversível porque seu determinante é 1 (diferente de zero). Então, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a Segunda afirmação: II - Sejam λ um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então λ² é autovalor de A², mas o autoespaço associado pode não ser H.
Vamos por partes:
λ é um autovalor de A: Isso significa que existe um vetor v tal que .
Queremos ver se λ² é um autovalor de :
Calculando :
Então, de fato, é um autovalor de .
E sobre o autoespaço: O autoespaço é o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor, mais o vetor nulo. Quando elevamos a matriz ao quadrado, os autovetores continuam sendo relacionados, mas o conjunto exato de vetores que formam o autoespaço pode mudar. Portanto, o autoespaço associado a pode não ser exatamente o mesmo H.