I - Se v e u são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então lang<=v, urang<==0.
II - Se A: R^6 R^6 e A=A^T, então A possui 6 autovalores reais distintos.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes simétricas e suas propriedades relacionadas a autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas, autovalores, autovetores e a relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Afirmação I: “Se e são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então .”
Aqui, representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores e . A afirmação está dizendo que se temos uma matriz simétrica e dois de seus autovetores correspondem a autovalores diferentes, então esses autovetores são ortogonais (ou seja, seu produto interno é zero).
Sabemos que, para matrizes simétricas, autovetores associados a autovalores distintos são de fato ortogonais. Isso é um resultado padrão em álgebra linear e é verdade para qualquer matriz simétrica.

Passo 3

Agora, vamos considerar a Afirmação II: “Se e , então possui 6 autovalores reais distintos.”
Aqui, indica que a matriz é simétrica. Sabemos que matrizes simétricas possuem todos os autovalores reais, mas a afirmação adicional de que todos os 6 autovalores são distintos não é necessariamente verdadeira. Uma matriz simétrica pode ter autovalores múltiplos, ou seja, mais de um autovetor pode corresponder ao mesmo autovalor.
Portanto, enquanto é verdade que todos os autovalores são reais, não podemos garantir que eles sejam todos distintos apenas porque a matriz é simétrica.

Passo 4

Com base nas análises anteriores:
  • Afirmação I é verdadeira, pois autovetores de uma matriz simétrica com autovalores distintos são ortogonais.
  • Afirmação II é falsa, porque uma matriz simétrica pode ter autovalores repetidos, ou seja, não necessariamente todos os 6 são distintos.

Resposta

(A) Apenas I é verdadeira.

Exercícios relacionados

I - Se uma matriz quadrada tem autovetores então ela não tem inversa.
II - Sejam lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^2 é autovalor de A^2, mas o autoespaço associado pode não ser H.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
T(x, y, z)=(9 x-6 y-3 z, y9+4 z, z),
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 2. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é igual ao volume de Q.
© é menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
(E) Não sei
R=145[rrr 5 & -44 & 8 -20 & 5 & 40 -40 & -8 & -19 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine o eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -34
(B) -45
© 35
(D) 45
(E) -35
(F) 34
(G) -12
(H) 12
(I) Não sei
I - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P-I)=0.
II - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T+2 I)=0.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei