R=145[rrr 5 & -44 & 8 -20 & 5 & 40 -40 & -8 & -19 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine o eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -34
(B) -45
© 35
(D) 45
(E) -35
(F) 34
(G) -12
(H) 12
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de rotação e queremos encontrar o cosseno do ângulo de rotação. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente matrizes de rotação e propriedades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula que relaciona a traça da matriz de rotação com o ângulo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a traça de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. No caso da matriz Traça(R) = 5 + 5 + (-19) = -9 , a diagonal principal é formada pelos elementos , e . Então, vamos calcular a traça:
ç

Passo 3

Agora, sabemos que para uma matriz de rotação em 3D, a relação entre a traça e o ângulo de rotação Traça(R) = 1 + 2 cos(theta) é dada pela fórmula:
ç
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 4

Substituindo a traça que calculamos na fórmula:
-9 = 1 + 2 cos(theta)
Agora, vamos isolar 2 cos(theta) = -9 - 1 2 cos(theta) = -10 cos(theta) = -102 cos(theta) = -5 :
Ops! Parece que algo deu errado, porque o cosseno não pode ser menor que -1. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 5

Ah, encontrei o erro! A matriz Traça(R) = 145(5 + 5 + (-19)) = 145(-9) = -15 está multiplicada por -15 = 1 + 2 cos(theta) . Então, na verdade, a traça real de é:
ç
Agora, vamos substituir corretamente na fórmula:

Passo 6

Isolando 2 cos(theta) = -15 - 1 = -65 cos(theta) = -65 times 2 = -35 :

Resposta

O cosseno do ângulo de rotação é . A alternativa correta é a (E).

Exercícios relacionados

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II - Se A: R^6 R^6 e A=A^T, então A possui 6 autovalores reais distintos.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Se uma matriz quadrada tem autovetores então ela não tem inversa.
II - Sejam lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^2 é autovalor de A^2, mas o autoespaço associado pode não ser H.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P-I)=0.
II - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T+2 I)=0.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Suponha que A B seja o diâmetro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo. Mostre que os vetores C A e C B são ortogonais.