Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. f(t) = t / ln(t)

Passo 1

Beleza! Então, você me enviou o exercício que envolve analisar a função . Vamos resolver isso juntos. Para entender essa função, vamos precisar usar conceitos de funções, logaritmos e limites. Vamos por partes para ficar bem tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida. Sabemos que o logaritmo natural, , só está definido para . Além disso, o denominador não pode ser zero, então .

Passo 3

Vamos ver quando . Sabemos que , então não pode ser 1. Portanto, o domínio da função é e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 1, já que é aí que o denominador fica zero. Isso nos ajuda a entender se a função tem algum tipo de descontinuidade ou assíntota.

Passo 5

Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de 1:
Sabemos que quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 1 e 0, respectivamente. Isso nos dá uma forma indeterminada , o que sugere que o limite tende ao infinito.

Passo 6

Vamos usar a regra de L’Hôpital para confirmar esse limite. A regra de L’Hôpital é útil quando temos formas indeterminadas como ou . Diferenciando o numerador e o denominador:
Então, o limite é 1, o que significa que a função se aproxima de 1 quando se aproxima de 1.

Passo 7

Por último, vamos olhar o comportamento geral da função. Para crescendo positivo, também cresce, mas mais lentamente que , então tende a crescer sem limites.
Para resumir:
  • O domínio é e .
  • A função tem uma descontinuidade removível em com limite 1.
  • Para aumentando, cresce sem limites.

Resposta

A função está definida para e , tem uma descontinuidade removível em com limite igual a 1, e cresce sem limites conforme aumenta.

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
c. tgh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h: $c. h(t)=e^{2 t}-e-t.$
Calcule os seguintes limites:
k lim x +infty(1+1x^2)^x
a. lim x 0 e^x-e^-xtg(x)