Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
Passo 1
Beleza! Então, você me enviou o exercício que envolve analisar a função
. Vamos resolver isso juntos. Para entender essa função, vamos precisar usar conceitos de funções, logaritmos e limites. Vamos por partes para ficar bem tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. Sabemos que o logaritmo natural,
, só está definido para
. Além disso, o denominador não pode ser zero, então
.
Passo 3
Vamos ver quando
. Sabemos que
, então
não pode ser 1. Portanto, o domínio da função é
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 1, já que é aí que o denominador fica zero. Isso nos ajuda a entender se a função tem algum tipo de descontinuidade ou assíntota.
Passo 5
Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1:
Sabemos que quando
se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 1 e 0, respectivamente. Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que sugere que o limite tende ao infinito.
Passo 6
Vamos usar a regra de L’Hôpital para confirmar esse limite. A regra de L’Hôpital é útil quando temos formas indeterminadas como
ou
. Diferenciando o numerador e o denominador:
Então, o limite é 1, o que significa que a função se aproxima de 1 quando
se aproxima de 1.
Passo 7
Por último, vamos olhar o comportamento geral da função. Para
crescendo positivo,
também cresce, mas mais lentamente que
, então
tende a crescer sem limites.
Para resumir:
- O domínio é
e . - A função tem uma descontinuidade removível em
com limite 1. - Para
aumentando, cresce sem limites.
Resposta
A função
está definida para
e
, tem uma descontinuidade removível em
com limite igual a 1, e cresce sem limites conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
$c. h(t)=e^{2 t}-e-t.$
Calcule os seguintes limites:
a.