Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
e. sech(x) = 2 / (e^(x) + e^(-x)).

Passo 1

Beleza, o exercício nos apresenta a função hiperbólica . A gente vai trabalhar com funções hiperbólicas hoje e, para resolver, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Ela está definida como . Nossa missão é encontrar a derivada dessa função em relação a x.

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra da derivada de uma fração, que é:
Aqui, u é o numerador e v é o denominador da nossa função.

Passo 4

Identificando as partes da nossa função:
Agora, vamos derivar cada parte:
  • (porque a derivada de uma constante é zero)
  • (usando a regra da derivada das exponenciais)

Passo 5

Aplicando a regra da derivada que mencionamos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
Substituindo na expressão da derivada:
Podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada de é .

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