Identifique a cônica dada pela equação 3 x^2+4 x y+3 y^2-12 x+5=0 * *

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação que representa uma cônica: . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de cônica é essa equação. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre as diferentes cônicas (como circunferência, elipse, parábola e hipérbole) e usar o discriminante para identificar qual delas estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação geral da cônica, que tem a forma . No nosso caso:
  • (não tem termo em )

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da cônica. O discriminante é dado por De. Esse valor nos ajuda a identificar qual tipo de cônica estamos tratando.
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o discriminante calculado, vamos interpretá-lo:
  • Se , a cônica é uma hipérbole.
  • Se , a cônica é uma parábola.
  • Se , a cônica pode ser uma elipse ou uma circunferência.
No nosso caso, , que é menor que zero.

Passo 5

Como , sabemos que a cônica é uma elipse ou uma circunferência. Para diferenciar entre as duas, verificamos se e :
  • Se e , é uma circunferência.
  • Caso contrário, é uma elipse.
Aqui, e , mas não é zero. Portanto, a cônica é uma elipse.

Resposta

A cônica dada pela equação é uma elipse.

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