Mostre que det[ccc1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2]=(a-b)(b-c)(c-a).

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que o determinante da seguinte matriz:
1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2
é igual a (a - b)(b - c)(c - a). Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o cálculo de determinantes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Para uma matriz geral:
m11 & m12 & m13 m21 & m22 & m23 m31 & m32 & m33 ,
o determinante é dado por:
m11(m22m33 - m23m32) - m12(m21m33 - m23m31) + m13(m21m32 - m22m31)

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa matriz, temos:
det[ccc1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2] = 1 cdot (b cdot c^2 - c cdot b^2) - 1 cdot (a cdot c^2 - c cdot a^2) + 1 cdot (a cdot b^2 - b cdot a^2)

Passo 4

Vamos simplificar cada termo individualmente:
1 cdot (b c^2 - c b^2) = b c^2 - b^2 c = b c (c - b),
-1 cdot (a c^2 - c a^2) = -a c^2 + c a^2 = a^2 c - a c^2 = a c (a - c),
1 cdot (a b^2 - b a^2) = a b^2 - a^2 b = a b (b - a)

Passo 5

Agora, somamos os três termos simplificados:
b c (c - b) + a c (a - c) + a b (b - a)
Percebemos que podemos fatorar cada termo para facilitar:
b c (-(b - c)) + a c (-(c - a)) + a b (-(a - b)) = -b c (b - c) - a c (c - a) - a b (a - b)

Passo 6

Fatorando o sinal negativo comum:
- [b c (b - c) + a c (c - a) + a b (a - b)]
Observamos que isso pode ser reescrito como:
- (a - b)(b - c)(c - a)

Passo 7

Finalmente, percebemos que o determinante original é igual a (a - b)(b - c)(c - a). Portanto:

Resposta

det[ccc1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2] = (a - b)(b - c)(c - a)

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