Mostre que
.
Passo 1
Neste exercício, queremos mostrar que o determinante da seguinte matriz:
é igual a
(a - b)(b - c)(c - a) . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o cálculo de determinantes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Para uma matriz geral:
o determinante é dado por:
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa matriz, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo individualmente:
Passo 5
Agora, somamos os três termos simplificados:
Percebemos que podemos fatorar cada termo para facilitar:
Passo 6
Fatorando o sinal negativo comum:
Observamos que isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Finalmente, percebemos que o determinante original é igual a
(a - b)(b - c)(c - a) . Portanto: