Identifique as cônicas e esboce seus gráficos, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar a cônica representada pela equação
, desenhar seu gráfico, marcar vértices e focos, e também desenhar as assíntotas (no caso de hipérbole) ou a diretriz (no caso de parábola). Para resolver isso, vamos precisar saber sobre as cônicas, especialmente a hipérbole, e como identificar seus elementos principais a partir da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada está na forma geral de uma hipérbole vertical:
Onde
é o centro da hipérbole. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
Com isso, temos o centro da hipérbole em
. Como a hipérbole é vertical, os vértices estarão a
unidades acima e abaixo do centro. Então:
- Vértice superior:
- Vértice inferior:
Passo 4
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
. Vamos calcular:
Os focos estão a
unidades acima e abaixo do centro:
- Foco superior:
- Foco inferior:
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole vertical têm a forma:
Substituindo os valores que temos:
Então, as equações das assíntotas são:
e
Resposta
A cônica é uma hipérbole com centro em
, vértices em
e
, focos em
e
, e assíntotas dadas pelas equações
e
. O gráfico apresenta uma hipérbole vertical conforme descrito.