Identifique as cônicas e esboce seus gráficos, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
(y-2)^216-(x-1)^29=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar a cônica representada pela equação (y-2)^216-(x-1)^29=1, desenhar seu gráfico, marcar vértices e focos, e também desenhar as assíntotas (no caso de hipérbole) ou a diretriz (no caso de parábola). Para resolver isso, vamos precisar saber sobre as cônicas, especialmente a hipérbole, e como identificar seus elementos principais a partir da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada está na forma geral de uma hipérbole vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da hipérbole. Comparando com a nossa equação:
(y-2)^216 - (x-1)^29 = 1
Podemos ver que h = 1, k = 2, a^2 = 16 e b^2 = 9.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de a e b:
a = raiz16 = 4
b = raiz9 = 3
Com isso, temos o centro da hipérbole em (1, 2). Como a hipérbole é vertical, os vértices estarão a a unidades acima e abaixo do centro. Então:
  • Vértice superior: (1, 2 + 4) = (1, 6)
  • Vértice inferior: (1, 2 - 4) = (1, -2)

Passo 4

Para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raiza^2 + b^2. Vamos calcular:
c = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Os focos estão a c unidades acima e abaixo do centro:
  • Foco superior: (1, 2 + 5) = (1, 7)
  • Foco inferior: (1, 2 - 5) = (1, -3)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole vertical têm a forma:
y = k pm ab(x - h)
Substituindo os valores que temos:
y = 2 pm 43(x - 1)
Então, as equações das assíntotas são:
y = 2 + 43(x - 1)
e
y = 2 - 43(x - 1)

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em (1, 2), vértices em (1, 6) e (1, -2), focos em (1, 7) e (1, -3), e assíntotas dadas pelas equações y = 2 + 43(x - 1) e y = 2 - 43(x - 1). O gráfico apresenta uma hipérbole vertical conforme descrito.

Exercícios relacionados