Sejam A=Z^Z e B=Mn(Z3). Descreva um elemento genérico do anel A times B. Qual é o elemento neutro de A times B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descrever um elemento genérico do anel , onde e . Também precisamos encontrar o elemento neutro desse anel. Vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre produtos diretos de anéis. Precisamos entender como são os elementos de cada componente e como combiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto representa todas as funções das inteiras para as inteiras . Então, um elemento genérico de pode ser visto como uma sequência infinita de números inteiros, onde cada número está associado a uma posição inteira.

Passo 3

Agora, vamos ver . Isso significa que é o conjunto de todas as matrizes com entradas em , que são os números inteiros módulo 3 (ou seja, 0, 1, 2). Um elemento genérico de é, portanto, uma matriz onde cada posição contém um desses três números.

Passo 4

O produto direto consiste em pares ordenados onde o primeiro componente está em e o segundo em . Assim, um elemento genérico de é um par , onde é uma função de para e é uma matriz com entradas em .

Passo 5

Agora, para encontrar o elemento neutro de , precisamos identificar os elementos neutros de e de separadamente. O elemento neutro em para a multiplicação é a função constante 1, ou seja, para todo . Já em , o elemento neutro é a matriz identidade , que tem 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições.

Resposta

Um elemento genérico do anel é um par , onde é uma função de para e é uma matriz com entradas em . O elemento neutro de é o par , onde para todo e é a matriz identidade de ordem .

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