Sejam
e
. Descreva um elemento genérico do anel
. Qual é o elemento neutro de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descrever um elemento genérico do anel
, onde
e
. Também precisamos encontrar o elemento neutro desse anel. Vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre produtos diretos de anéis. Precisamos entender como são os elementos de cada componente e como combiná-los.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto representa todas as funções das inteiras
para as inteiras
. Então, um elemento genérico de
pode ser visto como uma sequência infinita de números inteiros, onde cada número está associado a uma posição inteira.
Passo 3
Agora, vamos ver
. Isso significa que
é o conjunto de todas as matrizes
com entradas em
, que são os números inteiros módulo 3 (ou seja, 0, 1, 2). Um elemento genérico de
é, portanto, uma matriz onde cada posição contém um desses três números.
Passo 4
O produto direto
consiste em pares ordenados onde o primeiro componente está em
e o segundo em
. Assim, um elemento genérico de
é um par
, onde
é uma função de
para
e
é uma matriz
com entradas em
.
Passo 5
Agora, para encontrar o elemento neutro de
, precisamos identificar os elementos neutros de
e de
separadamente. O elemento neutro em
para a multiplicação é a função constante 1, ou seja,
para todo
. Já em
, o elemento neutro é a matriz identidade
, que tem 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições.
Resposta
Um elemento genérico do anel
é um par
, onde
é uma função de
para
e
é uma matriz
com entradas em
. O elemento neutro de
é o par
, onde
para todo
e
é a matriz identidade de ordem
.