Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equação dada a seguir.
16 x^2-9 y^2-160 x-18 y+391=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente precisa identificar o conjunto de pontos 16 x^2 - 9 y^2 - 160 x - 18 y + 391 = 0 que satisfazem a equação:
Esse tipo de equação envolve termos quadráticos em e , então estamos lidando com cônicas, que podem ser elipses, hipérboles ou parábolas. Para descobrir qual é, vamos reorganizar a equação de forma a identificar a cônica correta.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos em 16 x^2 - 160 x - 9 y^2 - 18 y + 391 = 0 e :
Agora, nosso objetivo é completar o quadrado para os termos em e , isso vai nos ajudar a colocar a equação na forma padrão.

Passo 3

Vamos começar completando o quadrado para os termos em 16 x^2 - 160 x = 16(x^2 - 10x):
(-102)^2 = 25
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de 16(x^2 - 10x + 25 - 25) = 16((x - 5)^2 - 25), que é 16(x - 5)^2 - 400, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 25 dentro do parênteses:
Distribuindo o 16:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em -9 y^2 - 18 y = -9(y^2 + 2y):
(22)^2 = 1
Completar o quadrado dentro do parênteses: pegamos o coeficiente de -9(y^2 + 2y + 1 - 1) = -9((y + 1)^2 - 1), que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
-9(y + 1)^2 + 9
Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Distribuindo o :

Passo 5

Agora, substituímos as expressões completadas de volta na equação original:
16(x - 5)^2 - 400 - 9(y + 1)^2 + 9 + 391 = 0
Vamos simplificar os termos constantes:
-400 + 9 + 391 = 0
Então, a equação fica:
16(x - 5)^2 - 9(y + 1)^2 = 0

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para identificar a cônica:
16(x - 5)^2 = 9(y + 1)^2
Dividindo ambos os lados por 9:
169(x - 5)^2 = (y + 1)^2
Podemos reescrever isso como:
(x - 5)^2(916) = (y + 1)^2
Isso se parece com a equação de uma hipérbole centralizada em , com eixos orientados horizontalmente.

Resposta

O conjunto dos pontos que satisfazem a equação dada forma uma hipérbole com centro no ponto , orientada horizontalmente.

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