Identifique o conjunto dos pontos
que satisfazem a cada equação dada a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente precisa identificar o conjunto de pontos
que satisfazem a equação:
Esse tipo de equação envolve termos quadráticos em
e
, então estamos lidando com cônicas, que podem ser elipses, hipérboles ou parábolas. Para descobrir qual é, vamos reorganizar a equação de forma a identificar a cônica correta.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos em
e
:
Agora, nosso objetivo é completar o quadrado para os termos em
e
, isso vai nos ajudar a colocar a equação na forma padrão.
Passo 3
Vamos começar completando o quadrado para os termos em
:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 25 dentro do parênteses:
Distribuindo o 16:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em
:
Completar o quadrado dentro do parênteses: pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Distribuindo o
:
Passo 5
Agora, substituímos as expressões completadas de volta na equação original:
Vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para identificar a cônica:
Dividindo ambos os lados por 9:
Podemos reescrever isso como:
Isso se parece com a equação de uma hipérbole centralizada em
, com eixos orientados horizontalmente.
Resposta
O conjunto dos pontos
que satisfazem a equação dada forma uma hipérbole com centro no ponto
, orientada horizontalmente.