Beleza, vamos resolver esse exercício sobre reflexões em planos no espaço tridimensional. O enunciado nos dá o plano e pede para encontrarmos a matriz da reflexão nesse plano, além de responder se essa matriz é diagonalizável e se a transformação é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformações lineares, matrizes e reflexões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reflexão em um plano. Refletir um ponto em um plano significa encontrar o ponto simétrico em relação a esse plano. Para achar a matriz dessa transformação, precisamos seguir alguns passos:
Identificar o vetor normal ao plano: O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então, .
Calcular a matriz de reflexão: A fórmula para a matriz de reflexão em relação a um plano com vetor normal n é:
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: determinar se a matriz A é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existirem três vetores próprios linearmente independentes, ou seja, se o espaço tiver uma base formada por vetores próprios.
Observando a matriz de reflexão, sabemos que reflexões têm autovalores específicos. Geralmente, os vetores no plano de reflexão são mantidos (autovalores iguais a 1) e o vetor normal ao plano é invertido (autovalor igual a -1). Como temos três autovalores distintos (1, 1, -1), a matriz é diagonalizável porque podemos encontrar uma base de autovetores correspondentes.
Uma transformação linear é um isomorfismo se for invertível, ou seja, se existir uma transformação que “desfaça” a ação da primeira. No caso das reflexões, elas são invertíveis porque refletir duas vezes em um plano retorna ao ponto original.
De fato, a inversa de uma reflexão é ela mesma:
Rpi^-1 = Rpi
Isso ocorre porque refletir duas vezes é a mesma coisa que não fazer nada, o que confirma que a transformação é um isomorfismo.