Considere o plano pi: 2 x+y-z=0. Seja Rpi: R^3 mapsto R^3 a reflexão em torno do plano pi.
(a) Determine a matriz A da transformação Rpi (relativa às bases canônicas).
(b) A é diagonalizável?
© Rpi é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre reflexões em planos no espaço tridimensional. O enunciado nos dá o plano pi: 2x + y - z = 0 e pede para encontrarmos a matriz da reflexão nesse plano, além de responder se essa matriz é diagonalizável e se a transformação é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformações lineares, matrizes e reflexões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reflexão em um plano. Refletir um ponto em um plano significa encontrar o ponto simétrico em relação a esse plano. Para achar a matriz dessa transformação, precisamos seguir alguns passos:
  1. Identificar o vetor normal ao plano: O vetor normal ao plano pi é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Então, n = 2 1 -1.
  2. Calcular a matriz de reflexão: A fórmula para a matriz de reflexão em relação a um plano com vetor normal n é:
    R = I - 2 n n^Tn^T n
    Onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular n^T n:
    n^T n = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6
  2. Calcular n n^T:
    n n^T = 2 1 -1 2 & 1 & -1 = 4 & 2 & -2 2 & 1 & -1 -2 & -1 & 1
  3. Multiplicar por 2/n^T n:
    2 n n^T6 = 13 4 & 2 & -2 2 & 1 & -1 -2 & -1 & 1 = 43 & 23 & -23 23 & 13 & -13 -23 & -13 & 13
  4. Subtrair de I para obter R:
    R = I - 43 & 23 & -23 23 & 13 & -13 -23 & -13 & 13 = 1 - 43 & 0 - 23 & 0 + 23 0 - 23 & 1 - 13 & 0 + 13 0 + 23 & 0 + 13 & 1 - 13
    Simplificando:
    R = -13 & -23 & 23 -23 & 23 & 13 23 & 13 & 23

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: determinar se a matriz A é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existirem três vetores próprios linearmente independentes, ou seja, se o espaço tiver uma base formada por vetores próprios.
Observando a matriz de reflexão, sabemos que reflexões têm autovalores específicos. Geralmente, os vetores no plano de reflexão são mantidos (autovalores iguais a 1) e o vetor normal ao plano é invertido (autovalor igual a -1). Como temos três autovalores distintos (1, 1, -1), a matriz é diagonalizável porque podemos encontrar uma base de autovetores correspondentes.

Passo 5

Por fim, na parte ©, precisamos verificar se a transformação Rpi é um isomorfismo e, se for, encontrar sua inversa.
Uma transformação linear é um isomorfismo se for invertível, ou seja, se existir uma transformação que “desfaça” a ação da primeira. No caso das reflexões, elas são invertíveis porque refletir duas vezes em um plano retorna ao ponto original.
De fato, a inversa de uma reflexão é ela mesma:
Rpi^-1 = Rpi
Isso ocorre porque refletir duas vezes é a mesma coisa que não fazer nada, o que confirma que a transformação é um isomorfismo.

Resposta

(a) A matriz A da transformação Rpi é:
A = -13 & -23 & 23 -23 & 23 & 13 23 & 13 & 23
(b) Sim, A é diagonalizável.
© Sim, Rpi é um isomorfismo. Sua inversa é a própria matriz A, ou seja, A^-1 = A.

Exercícios relacionados