Se
, determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o vértice, o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
, onde
. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e geometria das parábolas para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo se ela abre para cima ou para baixo. A coordenada
do vértice pode ser encontrada usando a fórmula:
Para achar a coordenada
, substituímos
na equação original:
Simplificando:
Então, o vértice é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A distância entre o vértice e o foco é dada por:
Como a parábola abre para cima ou para baixo dependendo do sinal de
, o foco estará acima ou abaixo do vértice. A coordenada
do foco é:
Então, o foco é:
Passo 4
Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta horizontal que fica oposta ao foco em relação ao vértice. A equação da diretriz é:
Portanto, a diretriz é:
Resposta
Para a parábola
, com
:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz: