Se a neq 0, determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y= a x^2+b x+c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o vértice, o foco e a diretriz da parábola dada pela equação y = a x^2 + b x + c, onde a neq 0. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e geometria das parábolas para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo se ela abre para cima ou para baixo. A coordenada x do vértice pode ser encontrada usando a fórmula:
xv = -b2a
Para achar a coordenada y, substituímos xv na equação original:
yv = a (-b2a)^2 + b (-b2a) + c
Simplificando:
yv = a (b^24a^2) - b^22a + c = b^24a - b^22a + c = -b^24a + c
Então, o vértice é:
(-b2a, c - b^24a)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A distância entre o vértice e o foco é dada por:
14a
Como a parábola abre para cima ou para baixo dependendo do sinal de a, o foco estará acima ou abaixo do vértice. A coordenada y do foco é:
yf = yv + 14a = c - b^24a + 14a
Então, o foco é:
(-b2a, c - b^24a + 14a)

Passo 4

Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta horizontal que fica oposta ao foco em relação ao vértice. A equação da diretriz é:
yd = yv - 14a = c - b^24a - 14a
Portanto, a diretriz é:
y = c - b^24a - 14a

Resposta

Para a parábola y = a x^2 + b x + c, com a neq 0:
  • Vértice: (-dfracb2a, c - dfracb^24a)
  • Foco: (-dfracb2a, c - dfracb^24a + dfrac14a)
  • Diretriz: y = c - dfracb^24a - dfrac14a

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