Dê a equação da hipérbole cujos focos são os pontos (0,0) e (6,0) e cuja excentricidade vale 32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole sabendo que os seus focos estão nos pontos (0,0) e (6,0), e que a excentricidade dela é 32. Então, usaremos conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como a posição dos focos, a excentricidade e os parâmetros que definem a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Temos os focos em (0,0) e (6,0).
Para encontrar o ponto médio, usamos a fórmula:
Centro (h, k) = (x1 + x22, y1 + y22)
Substituindo:
h = 0 + 62 = 3 k = 0 + 02 = 0
Então, o centro da hipérbole é (3, 0).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o centro e cada foco, que é representada por c. Sabemos que os focos estão a c unidades do centro.
A distância entre os focos é 6 unidades (de (0,0) a (6,0)), então:
2c = 6 Rightarrow c = 3

Passo 4

A excentricidade ( e) da hipérbole é dada pela relação:
e = ca
Onde a é a distância do centro até os vértices da hipérbole.
Sabemos que e = 32 e c = 3. Podemos encontrar a:
32 = 3a Rightarrow a = 2

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de b, que está relacionado por:
b^2 = c^2 - a^2
Substituindo os valores que temos:
b^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 b = raiz5

Passo 6

Com todos os valores ( h = 3, k = 0, a = 2, b = raiz5), podemos escrever a equação padrão da hipérbole que abre para os lados (horizontalmente):
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo:
(x - 3)^22^2 - (y - 0)^2(raiz5)^2 = 1 (x - 3)^24 - y^25 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x - 3)^24 - y^25 = 1

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