Dê a equação da hipérbole cujos focos são os pontos
e
e cuja excentricidade vale
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole sabendo que os seus focos estão nos pontos
e
, e que a excentricidade dela é
. Então, usaremos conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como a posição dos focos, a excentricidade e os parâmetros que definem a equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Temos os focos em
e
.
Para encontrar o ponto médio, usamos a fórmula:
Substituindo:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre o centro e cada foco, que é representada por
. Sabemos que os focos estão a
unidades do centro.
A distância entre os focos é
unidades (de
a
), então:
Passo 4
A excentricidade (
) da hipérbole é dada pela relação:
Onde
é a distância do centro até os vértices da hipérbole.
Sabemos que
e
. Podemos encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
, que está relacionado por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Com todos os valores (
,
,
,
), podemos escrever a equação padrão da hipérbole que abre para os lados (horizontalmente):
Substituindo:
Resposta
A equação da hipérbole é: