Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três matrizes e precisa descobrir se elas são linearmente independentes (LI) ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Basicamente, vamos ver se existe uma combinação dessas matrizes que dá a matriz zero sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa as matrizes serem linearmente independentes. Dizemos que um conjunto de matrizes é LI se a única solução para a equação for . Se existir outra solução, então elas não são LI.

Passo 3

Vamos escrever as matrizes que temos:
E montar a combinação linear:
Queremos que essa combinação dê a matriz zero:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (já que a segunda linha não adiciona nova informação)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
Isso significa que não precisamos que todos os sejam zero. Por exemplo, se escolhermos , então e .

Passo 6

Com esses valores:
Portanto, existe uma combinação não trivial que resulta na matriz zero.

Resposta

O conjunto não é linearmente independente porque existe uma combinação não trivial das matrizes que resulta na matriz zero.

Exercícios relacionados

O vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores e e os escalares dessa combinação são:
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .
Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
Sejam e . Represente e em e calcule:
c)
Considere e . Encontre
b)