Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três matrizes
e precisa descobrir se elas são linearmente independentes (LI) ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Basicamente, vamos ver se existe uma combinação dessas matrizes que dá a matriz zero sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa as matrizes serem linearmente independentes. Dizemos que um conjunto de matrizes é LI se a única solução para a equação
for
. Se existir outra solução, então elas não são LI.
Passo 3
Vamos escrever as matrizes que temos:
E montar a combinação linear:
Queremos que essa combinação dê a matriz zero:
Passo 4
Isso nos dá um sistema de equações:
-
-
-
(já que a segunda linha não adiciona nova informação)
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
Isso significa que não precisamos que todos os
sejam zero. Por exemplo, se escolhermos
, então
e
.
Passo 6
Com esses valores:
Portanto, existe uma combinação não trivial que resulta na matriz zero.
Resposta
O conjunto
não é linearmente independente porque existe uma combinação não trivial das matrizes que resulta na matriz zero.
Exercícios relacionados
O vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
e os escalares dessa combinação são:
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .
Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
Sejam
e
. Represente
e
em
e calcule:
c)
c)
Considere
e
. Encontre
b)
b)