Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
lambda=[ll0 & 2 0 & 0]2 times 2,[cc-1 & 0 0 & -1]2 times 2,[ll1 & 1 0 & 1]2 times 2 subset M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três matrizes e precisa descobrir se elas são linearmente independentes (LI) ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Basicamente, vamos ver se existe uma combinação dessas matrizes que dá a matriz zero sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa as matrizes serem linearmente independentes. Dizemos que um conjunto de matrizes é LI se a única solução para a equação for . Se existir outra solução, então elas não são LI.

Passo 3

Vamos escrever as matrizes que temos:
A = 0 & 2 0 & 0 , B = -1 & 0 0 & -1 , C = 1 & 1 0 & 1
E montar a combinação linear:
c1 A + c2 B + c3 C = 0 & 2c1 0 & 0 + -c2 & 0 0 & -c2 + c3 & c3 0 & c3 = -c2 + c3 & 2c1 + c3 0 & -c2 + c3
Queremos que essa combinação dê a matriz zero:
-c2 + c3 & 2c1 + c3 0 & -c2 + c3 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (já que a segunda linha não adiciona nova informação)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
Isso significa que não precisamos que todos os sejam zero. Por exemplo, se escolhermos , então e .

Passo 6

Com esses valores:
1 cdot A + (-2) cdot B + (-2) cdot C = 0 & 2 0 & 0 + 2 & 0 0 & 2 + -2 & -2 0 & -2 = 0 & 0 0 & 0
Portanto, existe uma combinação não trivial que resulta na matriz zero.

Resposta

O conjunto não é linearmente independente porque existe uma combinação não trivial das matrizes que resulta na matriz zero.

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