Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
dentro do espaço
. O que a gente precisa descobrir é quais desses vetores não formam um conjunto linearmente independente (LI). Pra isso, vamos entrar no assunto de Independência Linear, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e verificar se esses vetores cumprem essa condição.
Passo 2
Primeiro, o que é Independência Linear? Um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, se a única solução para a equação
for
, então os vetores são LI.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Temos três vetores em
. Uma observação importante: em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto com mais de
vetores é automaticamente linearmente dependente. Como
tem dimensão 2 e temos 3 vetores, já sabemos que o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 4
Mas vamos detalhar um pouco mais. Vamos tentar encontrar uma combinação linear que dê o vetor zero usando esses vetores. Ou seja, queremos encontrar escalares
,
e
tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vemos que há infinitas soluções além da trivial (onde todos os
's são zero), confirmando que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto
não é linearmente independente porque possui mais vetores do que a dimensão do espaço (
), tornando ele linearmente dependente.
Exercícios relacionados
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
O vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
e os escalares dessa combinação são:
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .
Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
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