Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
beta=(2,3),(1,0),(1,1) subset R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto beta = (2,3), (1,0), (1,1) dentro do espaço R^2. O que a gente precisa descobrir é quais desses vetores não formam um conjunto linearmente independente (LI). Pra isso, vamos entrar no assunto de Independência Linear, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e verificar se esses vetores cumprem essa condição.

Passo 2

Primeiro, o que é Independência Linear? Um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, se a única solução para a equação c1 v1 + c2 v2 + dots + cn vn = 0 for c1 = c2 = dots = cn = 0, então os vetores são LI.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto beta. Temos três vetores em R^2. Uma observação importante: em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é automaticamente linearmente dependente. Como R^2 tem dimensão 2 e temos 3 vetores, já sabemos que o conjunto beta é linearmente dependente.

Passo 4

Mas vamos detalhar um pouco mais. Vamos tentar encontrar uma combinação linear que dê o vetor zero usando esses vetores. Ou seja, queremos encontrar escalares c1, c2 e c3 tais que:
c1 (2,3) + c2 (1,0) + c3 (1,1) = (0,0)
Isso dá o sistema de equações:
2c1 + c2 + c3 = 0 3c1 + 0c2 + c3 = 0
Resolvendo esse sistema, vemos que há infinitas soluções além da trivial (onde todos os c's são zero), confirmando que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto beta = (2,3), (1,0), (1,1) não é linearmente independente porque possui mais vetores do que a dimensão do espaço ( R^2), tornando ele linearmente dependente.

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