O vetor (1,0,4) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,0,0),(0,2,1) e (0,0,1) e os escalares dessa combinação são:
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quais são os escalares que permitem escrever o vetor (1,0,4) como uma combinação linear dos vetores (1,0,0), (0,2,1) e (0,0,1). A gente vai precisar entender o que é combinação linear e resolver algumas equações para encontrar esses escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números (escalas) que multiplicados pelos vetores dados e somados resultem no vetor que a gente quer, que é (1,0,4). Então, vamos chamar esses escalares de a, b e c. Nossa equação fica assim:
a cdot (1,0,0) + b cdot (0,2,1) + c cdot (0,0,1) = (1,0,4)

Passo 3

Vamos multiplicar cada escala pelo vetor correspondente:
(a cdot 1, a cdot 0, a cdot 0) + (b cdot 0, b cdot 2, b cdot 1) + (c cdot 0, c cdot 0, c cdot 1) = (1,0,4)
Isso dá:
(a + 0 + 0, 0 + 2b + 0, 0 + b + c) = (1,0,4)

Passo 4

Agora, igualamos componente por componente:
  1. Primeira componente: a = 1
  2. Segunda componente: 2b = 0 b = 0
  3. Terceira componente: b + c = 4 → Como b = 0, então c = 4

Passo 5

Então, os escalares que encontramos são a = 1, b = 0 e c = 4.

Resposta

A alternativa correta é a) 1, 0 e 4.

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