Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e descrever a superfície no espaço tridimensional (
) definida pela equação
. Isso faz parte do estudo de geometria analítica, onde exploramos as diferentes superfícies que podemos formar com equações no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar essa equação e reconhecer que tipo de superfície ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Essa é uma equação que relaciona as coordenadas
e
, mas não menciona a coordenada
. Isso significa que a equação é válida para qualquer valor de
. Em outras palavras, para cada valor de
, temos uma curva no plano
que satisfaz
.
Passo 3
A equação
é a equação de um círculo no plano
com raio
e centro na origem (0,0). Como isso acontece para qualquer valor de
, estamos basicamente empilhando círculos de raio 3 ao longo do eixo
. Isso forma uma superfície que se estende infinitamente em ambas as direções do eixo
.
Passo 4
Então, a superfície definida por
é um cilindro circular reto. O cilindro é “reto” porque suas geratrizes (as linhas que formam a superfície) são perpendiculares ao eixo de rotação, que nesse caso é o eixo
. Além disso, como a equação não envolve
, o cilindro se estende indefinidamente ao longo desse eixo.
Passo 5
Para visualizar isso, imagine um cilindro de lataria com raio 3, orientado paralelamente ao eixo
. Se você cortar o cilindro perpendicularmente ao eixo
, a seção resultante seria um círculo com raio 3 no plano
. Como não há restrições para
, o cilindro se estende sem fim em ambas as direções do eixo
.
Passo 6
Então, para esboçar a superfície, desenhe um eixo
horizontal e, em torno dele, desenhe duas linhas curvas que representam os círculos de raio 3 no plano
. Essas curvas se estendem ao longo de todo o eixo
, formando um cilindro infinito.
Resposta
A superfície definida pela equação
em
é um cilindro circular reto com raio 3, orientado paralelamente ao eixo
. Esse cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo
, e seu esboço consiste em círculos de raio 3 empilhados ao longo desse eixo.