Identifique e descreva a superfície do R^3 dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
y^2 + z^2 = 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e descrever a superfície no espaço tridimensional ( R^3) definida pela equação . Isso faz parte do estudo de geometria analítica, onde exploramos as diferentes superfícies que podemos formar com equações no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar essa equação e reconhecer que tipo de superfície ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é uma equação que relaciona as coordenadas y e z, mas não menciona a coordenada x. Isso significa que a equação é válida para qualquer valor de x. Em outras palavras, para cada valor de x, temos uma curva no plano que satisfaz .

Passo 3

A equação é a equação de um círculo no plano com raio e centro na origem (0,0). Como isso acontece para qualquer valor de x, estamos basicamente empilhando círculos de raio 3 ao longo do eixo x. Isso forma uma superfície que se estende infinitamente em ambas as direções do eixo x.

Passo 4

Então, a superfície definida por é um cilindro circular reto. O cilindro é “reto” porque suas geratrizes (as linhas que formam a superfície) são perpendiculares ao eixo de rotação, que nesse caso é o eixo x. Além disso, como a equação não envolve x, o cilindro se estende indefinidamente ao longo desse eixo.

Passo 5

Para visualizar isso, imagine um cilindro de lataria com raio 3, orientado paralelamente ao eixo x. Se você cortar o cilindro perpendicularmente ao eixo x, a seção resultante seria um círculo com raio 3 no plano . Como não há restrições para x, o cilindro se estende sem fim em ambas as direções do eixo x.

Passo 6

Então, para esboçar a superfície, desenhe um eixo x horizontal e, em torno dele, desenhe duas linhas curvas que representam os círculos de raio 3 no plano . Essas curvas se estendem ao longo de todo o eixo x, formando um cilindro infinito.

Resposta

A superfície definida pela equação em R^3 é um cilindro circular reto com raio 3, orientado paralelamente ao eixo x. Esse cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo x, e seu esboço consiste em círculos de raio 3 empilhados ao longo desse eixo.

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