Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
Então, você tem uma equação que descreve uma superfície no espaço tridimensional:
. Vamos identificar que tipo de superfície é essa. Para isso, precisamos conhecer um pouquinho sobre superfícies quadráticas, que são expressas por equações do segundo grau em três variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da equação. Ela está na forma
, o que significa que
está em função de
e
. Isso indica que para qualquer par de valores de
e
, a coordenada
será determinada por essa relação quadrática.
Passo 3
Agora, vamos identificar quais são os coeficientes dos termos quadráticos. Temos
e
. Ambos os coeficientes são negativos, o que nos dá uma pista importante sobre a forma da superfície.
Passo 4
Para entender melhor, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar para identificarmos a superfície:
Podemos ver que a equação se assemelha a
, o que nos mostra que a superfície é uma parábola em
e
, mas com coeficientes diferentes.
Passo 5
Sabemos que quando temos uma equação do tipo
, estamos lidando com um paraboloide. A presença dos termos quadráticos em duas variáveis indica que a superfície tem uma curvatura em ambas as direções.
Como os coeficientes
e
são negativos, isso significa que o paraboloide abre na direção negativa do eixo
.
Passo 6
Além disso, como os coeficientes de
e
são diferentes (no caso,
e
respectivamente), a superfície é chamada de paraboloide elíptico. Isso significa que as seções transversais da superfície são elipses.
Passo 7
Para fazer um esboço, podemos imaginar que no eixo
, a superfície tem seu ponto mais alto (vértice) na origem
. À medida que nos afastamos desse ponto ao longo dos eixos
e
, a superfície desce, formando uma “tigela” invertida.
Resposta
A superfície definida pela equação
é um paraboloide elíptico que se abre para baixo no espaço tridimensional. O vértice está na origem, e as seções transversais são elipses, sendo mais “fechadas” na direção de
devido ao coeficiente maior. O esboço dessa superfície seria uma curva suave que se expande a partir da origem, curvando-se para baixo conforme
e
aumentam.