Identifique e descreva a superfície do R^3 dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
y = -x^2 - 4z^2.

Passo 1

Então, você tem uma equação que descreve uma superfície no espaço tridimensional: . Vamos identificar que tipo de superfície é essa. Para isso, precisamos conhecer um pouquinho sobre superfícies quadráticas, que são expressas por equações do segundo grau em três variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da equação. Ela está na forma , o que significa que está em função de e . Isso indica que para qualquer par de valores de e , a coordenada será determinada por essa relação quadrática.

Passo 3

Agora, vamos identificar quais são os coeficientes dos termos quadráticos. Temos e . Ambos os coeficientes são negativos, o que nos dá uma pista importante sobre a forma da superfície.

Passo 4

Para entender melhor, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar para identificarmos a superfície:
Podemos ver que a equação se assemelha a , o que nos mostra que a superfície é uma parábola em e , mas com coeficientes diferentes.

Passo 5

Sabemos que quando temos uma equação do tipo , estamos lidando com um paraboloide. A presença dos termos quadráticos em duas variáveis indica que a superfície tem uma curvatura em ambas as direções.
Como os coeficientes e são negativos, isso significa que o paraboloide abre na direção negativa do eixo .

Passo 6

Além disso, como os coeficientes de e são diferentes (no caso, e respectivamente), a superfície é chamada de paraboloide elíptico. Isso significa que as seções transversais da superfície são elipses.

Passo 7

Para fazer um esboço, podemos imaginar que no eixo , a superfície tem seu ponto mais alto (vértice) na origem . À medida que nos afastamos desse ponto ao longo dos eixos e , a superfície desce, formando uma “tigela” invertida.

Resposta

A superfície definida pela equação é um paraboloide elíptico que se abre para baixo no espaço tridimensional. O vértice está na origem, e as seções transversais são elipses, sendo mais “fechadas” na direção de devido ao coeficiente maior. O esboço dessa superfície seria uma curva suave que se expande a partir da origem, curvando-se para baixo conforme e aumentam.

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