Identifique e descreva a superfície do R^3 dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x^2 = 4y^2 + 4z^2.

Passo 1

Aqui, a gente tem a equação . Nosso objetivo é identificar qual é a superfície dessa equação no espaço tridimensional ( ). Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica e manipular a equação para reconhecer a forma geométrica correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4:
Isso ajuda a visualizar melhor a relação entre as variáveis.

Passo 3

Observando a forma , percebemos que essa é a equação padrão de um cone duplo. No caso, , então . Isso significa que o cone tem seu eixo alinhado ao eixo x.

Passo 4

Para entender melhor, imagine fixar um valor específico para . Por exemplo, se , a equação se torna:
Essa é a equação de um círculo no plano - com raio . Conforme varia, o raio desses círculos aumenta proporcionalmente, confirmando que a superfície formada é um cone cujas duas faces se abrem simetricamente ao longo do eixo x.

Resposta

A superfície dada pela equação é um cone duplo com seu eixo alinhado ao eixo no espaço tridimensional. Esse cone se abre nas direções positivas e negativas de , formando uma figura simétrica ao longo desse eixo.

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