Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 2,5 y^2+x^2-2 x-4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação para identificar qual cônica estamos lidando. Para isso, vamos usar o método de completamento de quadrados, que nos ajuda a reescrever a equação em uma forma mais simples e reconhecível. Precisamos reorganizar os termos e completar os quadrados tanto para quanto para .

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos semelhantes. Vamos deixar os termos com x^2 - 2x + 2,5 y^2 = 4 juntos e os termos com também:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte que envolve x^2 - 2x + 1 - 1 + 2,5 y^2 = 4 . Para isso, observamos o coeficiente de (x - 1)^2 - 1 + 2,5 y^2 = 4 , que é . A metade desse valor é e o quadrado de é . Então, adicionamos e subtraímos na equação:
Que simplifica para:

Passo 4

Vamos agora isolar os termos completos do quadrado:
(x - 1)^2 + 2,5 y^2 = 5

Passo 5

Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos todos os termos por 5:
(x - 1)^25 + 2,5 y^25 = 1
Simplificando:
(x - 1)^25 + y^22 = 1

Passo 6

Agora, identificamos os parâmetros da elipse. A equação padrão de uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
(x - 1)^25 + y^22 = 1
Vemos que:
  • Centro
  • então
  • então

Resposta

A equação (x - 1)^25 + y^22 = 1 representa uma elipse com centro no ponto , e os semi-eixos e . A sua forma padrão é:

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