Seja
uma função. Prove que:
Se
injetiva então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre funções injetivas, que são aquelas onde cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um elemento único no conjunto de chegada, sem repetições. Aqui, temos uma função
que vai de
para
. O que precisamos provar é que, se essa função é injetiva, então o número de elementos no conjunto de partida
não pode ser maior que o número de elementos no conjunto de chegada
. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetiva. Uma função
é injetiva se, para todo
, sempre que
, então
. Isso quer dizer que não há dois elementos diferentes em
que são mapeados para o mesmo elemento em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em termos de contagem. Se
é injetiva, cada elemento de
é mapeado para um elemento distinto em
. Ou seja, cada um dos
elementos da primeira coleção precisa de um lugar único entre os
elementos da segunda coleção.
Passo 4
Mas aqui está o ponto crucial: para que cada um dos
elementos tenha um lugar único em
posições, o número de posições disponíveis
tem que ser pelo menos igual ao número de elementos
. Se
fosse maior que
, não teríamos posições suficientes para todos os elementos sem repetir algum, o que violaria a injetividade da função.
Passo 5
Em outras palavras, se
, não conseguiríamos atribuir um elemento distinto de
para cada elemento de
sem repetir algum, o que contraria a definição de função injetiva.
Resposta
Portanto, se
é injetiva, então
.