Seja f: X Y uma função. Prove que:
f(f^-1(B))=B qualquer que seja B subset Y se e somente se f sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre funções! O enunciado pede para provar que, para uma função , a igualdade vale para qualquer subconjunto de se e somente se for sobrejetiva. Aqui, vamos usar conceitos de função inversa e sobrejetividade. Precisamos entender bem o que significa uma função ser sobrejetiva e como a inversa de uma função opera sobre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. Uma função é chamada de sobrejetiva se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, a função “atinge” todos os elementos do conjunto .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Aqui, representa o pré-imagem de por , que é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento em por . Então, é o conjunto de todos os onde está em , ou seja, todos os elementos de que são “alcancados” por .

Passo 4

Vamos provar a implicação nas duas direções:
Se é sobrejetiva, então :
Como é sobrejetiva, para todo , existe pelo menos um tal que . Portanto, captura todos esses , e aplicando novamente, recuperamos exatamente todos os . Logo, .
Se para todo , então é sobrejetiva:
Vamos escolher . Então, . Mas , já que todo é mapeado para algum por . Então, , o que significa que é sobrejetiva.

Resposta

Portanto, demonstramos que para qualquer se e somente se a função é sobrejetiva.

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