Seja
uma função. Prove que:
qualquer que seja
se e somente se
sobrejetiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre funções! O enunciado pede para provar que, para uma função
, a igualdade
vale para qualquer subconjunto
de
se e somente se
for sobrejetiva. Aqui, vamos usar conceitos de função inversa e sobrejetividade. Precisamos entender bem o que significa uma função ser sobrejetiva e como a inversa de uma função opera sobre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. Uma função
é chamada de sobrejetiva se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja, a função “atinge” todos os elementos do conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui,
representa o pré-imagem de
por
, que é o conjunto de todos os elementos
em
que são mapeados para algum elemento em
por
. Então,
é o conjunto de todos os
onde
está em
, ou seja, todos os elementos de
que são “alcancados” por
.
Passo 4
Vamos provar a implicação nas duas direções:
Se
é sobrejetiva, então
:
Como
é sobrejetiva, para todo
, existe pelo menos um
tal que
. Portanto,
captura todos esses
, e aplicando
novamente, recuperamos exatamente todos os
. Logo,
.
Se
para todo
, então
é sobrejetiva:
Vamos escolher
. Então,
. Mas
, já que todo
é mapeado para algum
por
. Então,
, o que significa que
é sobrejetiva.
Resposta
Portanto, demonstramos que
para qualquer
se e somente se a função
é sobrejetiva.