Identifique a função do cálculo definida pela série sumn=0^infty(n+1) x^n, no intervalo |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar a função que representa a série no intervalo . Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e cálculo, especialmente sobre como somar séries que envolvem potências de e coeficientes que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série dada: (n+1) x^n = x^n + n x^n . Aqui, cada termo da série é sumn=0^infty x^n + sumn=0^infty n x^n . Podemos dividir essa expressão em duas partes para facilitar a soma:
Então, a série original pode ser escrita como a soma de duas séries:

Passo 3

Vamos agora somar cada uma dessas séries separadamente. A primeira série, sumn=0^infty x^n = 11 - x para |x| < 1 , é uma série geométrica simples. Sabemos que:

Passo 4

A segunda série, sumn=0^infty n x^n = x(1 - x)^2 para |x| < 1 , é uma série que envolve o termo . Há uma fórmula conhecida para essa soma:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
11 - x + x(1 - x)^2
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. O denominador comum é 1 cdot (1 - x)(1 - x)^2 + x(1 - x)^2 = 1 - x + x(1 - x)^2 :

Passo 6

Simplificando o numerador:
1 - x + x = 1
Então, a soma fica:
1(1 - x)^2

Resposta

A função definida pela série f(x) = 1(1 - x)^2 no intervalo é:

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