Identifique a função do cálculo definida pela série , no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar a função que representa a série no intervalo . Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e cálculo, especialmente sobre como somar séries que envolvem potências de e coeficientes que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série dada: . Aqui, cada termo da série é . Podemos dividir essa expressão em duas partes para facilitar a soma:
Então, a série original pode ser escrita como a soma de duas séries:

Passo 3

Vamos agora somar cada uma dessas séries separadamente. A primeira série, , é uma série geométrica simples. Sabemos que:

Passo 4

A segunda série, , é uma série que envolve o termo . Há uma fórmula conhecida para essa soma:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. O denominador comum é :

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então, a soma fica:

Resposta

A função definida pela série no intervalo é:

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Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que , e
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Sabendo que , determine:
a)