Identifique a função do cálculo definida pela série
, no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar a função que representa a série
no intervalo
. Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e cálculo, especialmente sobre como somar séries que envolvem potências de
e coeficientes que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série dada:
. Aqui, cada termo da série é
. Podemos dividir essa expressão em duas partes para facilitar a soma:
Então, a série original pode ser escrita como a soma de duas séries:
Passo 3
Vamos agora somar cada uma dessas séries separadamente. A primeira série,
, é uma série geométrica simples. Sabemos que:
Passo 4
A segunda série,
, é uma série que envolve o termo
. Há uma fórmula conhecida para essa soma:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. O denominador comum é
:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, a soma fica:
Resposta
A função definida pela série
no intervalo
é:
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Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
,
e
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Sabendo que
, determine:
a)
a)