Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que , e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região . A região é definida pelos pontos que satisfazem:
Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de integrais múltiplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os limites de integração. A região está definida por:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 até .
Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral tripla fica assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . A função que estamos integrando é , que não depende de . Então, a integral em fica fácil:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a . Expandindo , temos:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
integral0^1 3x^32 , dx
Somando as duas partes:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Finalmente, vamos integrar em relação a integral0^1 3x^32 , dx = 32 integral0^1 x^3 , dx = 32 cdot x^44 |0^1 = 32 cdot 14 = 38 :