Calcule a integral integral triplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y, z)=x e B é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) tais que 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x e 0 <= z <= x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região . A região é definida pelos pontos que satisfazem:
Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de integrais múltiplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os limites de integração. A região integral triplaB x , dx , dy , dz = integral0^1 integral0^x integral0^x + y x , dz , dy , dx está definida por:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 até .
  • Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral tripla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^x + y x , dz = x cdot (x + y - 0) = x(x + y) . A função que estamos integrando é integral0^1 integral0^x x(x + y) , dy , dx , que não depende de . Então, a integral em fica fácil:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a x(x + y) = x^2 + xy . Expandindo integral0^x (x^2 + xy) , dy = integral0^x x^2 , dy + integral0^x xy , dy , temos:
integral0^x x^2 , dy = x^2 cdot y |0^x = x^3
Então, a integral fica:
integral0^x xy , dy = x cdot y^22 |0^x = x cdot x^22 = x^32
Calculando cada parte:
x^3 + x^32 = 3x^32
integral0^1 3x^32 , dx
Somando as duas partes:
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Finalmente, vamos integrar em relação a integral0^1 3x^32 , dx = 32 integral0^1 x^3 , dx = 32 cdot x^44 |0^1 = 32 cdot 14 = 38 :

Resposta

O valor da integral é .

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