Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a função como uma série de potências em . Para isso, vamos usar a série que a gente já conhece: , que vale para . Além disso, vamos precisar entender como manipular séries e calcular o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série também tem uma representação em série de potências. Sabemos que:
Isso porque cada termo da série representa a derivada da série original .

Passo 3

Agora, queremos adaptar isso para . Para isso, substituímos por na série que acabamos de lembrar:

Passo 4

Mas a gente tem , então vamos multiplicar a série que encontramos por :

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a convergência dessa série. A série converge quando , ou seja, . Como multiplicamos por , a condição de convergência não muda. Portanto:
  • Raio de convergência: 1
  • Intervalo de convergência:

Resposta

A série de potências é com raio de convergência igual a 1 e intervalo de convergência .

Exercícios relacionados

Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) em
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que , e
Identifique a função do cálculo definida pela série , no intervalo .