Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a função
como uma série de potências em
. Para isso, vamos usar a série que a gente já conhece:
, que vale para
. Além disso, vamos precisar entender como manipular séries e calcular o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série
também tem uma representação em série de potências. Sabemos que:
Isso porque cada termo da série representa a derivada da série original
.
Passo 3
Agora, queremos adaptar isso para
. Para isso, substituímos
por
na série que acabamos de lembrar:
Passo 4
Mas a gente tem
, então vamos multiplicar a série que encontramos por
:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a convergência dessa série. A série
converge quando
, ou seja,
. Como multiplicamos por
, a condição de convergência não muda. Portanto:
- Raio de convergência: 1
- Intervalo de convergência:
Resposta
A série de potências é
com raio de convergência igual a 1 e intervalo de convergência
.
Exercícios relacionados
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) em
b)
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
,
e
Identifique a função do cálculo definida pela série
, no intervalo
.