Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
x^3(1-x^4)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a função como uma série de potências em . Para isso, vamos usar a série que a gente já conhece: , que vale para . Além disso, vamos precisar entender como manipular séries e calcular o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série 1(1 - x)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^n também tem uma representação em série de potências. Sabemos que:
Isso porque cada termo da série representa a derivada da série original .

Passo 3

Agora, queremos adaptar isso para 1(1 - x^4)^2 = sumn=0^infty (n + 1) (x^4)^n = sumn=0^infty (n + 1) x^4n . Para isso, substituímos por na série que acabamos de lembrar:

Passo 4

Mas a gente tem x^3(1 - x^4)^2 = x^3 cdot sumn=0^infty (n + 1) x^4n = sumn=0^infty (n + 1) x^4n + 3 , então vamos multiplicar a série que encontramos por :

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a convergência dessa série. A série converge quando , ou seja, . Como multiplicamos por , a condição de convergência não muda. Portanto:
  • Raio de convergência: 1
  • Intervalo de convergência:

Resposta

A série de potências é com raio de convergência igual a 1 e intervalo de convergência .

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