Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
a) lim x infty(1+kx)^x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que quando tende para infinito, a expressão se aproxima de . Agora, a questão quer saber qual é o limite de quando também tende para infinito, onde é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limites envolvendo exponenciais e a definição do número .

Passo 2

Sabemos que . Isso significa que, conforme fica muito grande, a expressão dentro do parênteses se aproxima de 1, mas o efeito da potência faz com que o resultado converge para .

Passo 3

Agora, vamos adaptar essa ideia para a expressão . Queremos ver o que acontece quando tende para infinito. Podemos reescrever a potência de uma maneira que fique mais fácil de relacionar com a expressão que sabemos que tende a .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão da seguinte forma:
(1+kx)^x = [(1+kx)^xk]^k
Aqui, dividimos o expoente por e depois elevamos tudo de volta à potência . Isso nos ajuda a isolar uma parte da expressão que lembra a definição de .

Passo 5

Agora, observamos que:
limx infty (1+kx)^xk = e
Isso porque estamos basicamente ajustando o coeficiente dentro do parênteses. Portanto, a expressão toda fica:
limx infty (1+kx)^x = (limx infty (1+kx)^xk)^k = e^k

Resposta

limx infty (1+kx)^x = e^k

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