Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(b) F(x, y) = (x^3 + 4xy) i + (4xy - y^3) j Resp: não conservativo

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que , onde representa o gradiente de . Isso significa que as componentes de são as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Para verificar se é conservativo, podemos usar o seguinte critério: em um campo bidimensional, se as derivadas cruzadas das componentes de forem iguais, ou seja, se:
então o campo é conservativo. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões precisam ser iguais para todos os e .

Passo 6

Vamos verificar se para todos os e . Isso só é verdadeiro se , mas queremos que a igualdade valha para quaisquer valores de e . Como isso não acontece, concluímos que as derivadas cruzadas não são iguais em geral.

Passo 7

Como as derivadas cruzadas não são iguais, segundo o critério que usamos, o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial que satisfaça .

Resposta

não conservativo

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