Determine se é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(b) Resp: não conservativo
Passo 1
Beleza! A questão pede para a gente determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que , onde representa o gradiente de . Isso significa que as componentes de são as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Para verificar se é conservativo, podemos usar o seguinte critério: em um campo bidimensional, se as derivadas cruzadas das componentes de forem iguais, ou seja, se:
então o campo é conservativo. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando :
Agora, calculando :
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões precisam ser iguais para todos os e .
Passo 6
Vamos verificar se para todos os e . Isso só é verdadeiro se , mas queremos que a igualdade valha para quaisquer valores de e . Como isso não acontece, concluímos que as derivadas cruzadas não são iguais em geral.
Passo 7
Como as derivadas cruzadas não são iguais, segundo o critério que usamos, o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial que satisfaça .