Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(b)
Resp: não conservativo
(b)
Passo 1
Beleza! A questão pede para a gente determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, onde
representa o gradiente de
. Isso significa que as componentes de
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, podemos usar o seguinte critério: em um campo bidimensional, se as derivadas cruzadas das componentes de
forem iguais, ou seja, se:
então o campo é conservativo. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões precisam ser iguais para todos os
e
.
Passo 6
Vamos verificar se
para todos os
e
. Isso só é verdadeiro se
, mas queremos que a igualdade valha para quaisquer valores de
e
. Como isso não acontece, concluímos que as derivadas cruzadas não são iguais em geral.
Passo 7
Como as derivadas cruzadas não são iguais, segundo o critério que usamos, o campo
não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial
que satisfaça
.
Resposta
não conservativo