Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e resolver uma equação diferencial da forma:
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e então resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
que é dado por:
Calculando a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora está na forma exata, e o lado esquerdo pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral term por term:
-
:
Usamos a integração por partes.Seja, Então,, Aplicando: -
-
Então, juntando tudo:
Passo 7
Resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
:
Sabendo que
e
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
A aresta de um cubo tem
, com um possível erro de medida de
cm . Use diferenciais para estimar o erro possível no cálculo:
(a) do volume do cubo.
(a) do volume do cubo.
A aresta de um cubo tem
cm, com um possível erro de medida de
cm. Use diferenciais para estimar o erro possível no cálculo:
(b) da área da superfície do cubo.
(b) da área da superfície do cubo.