y' = cos^2(x) * cos^2(3y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma equação diferencial da forma . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), e para resolver esse tipo de equação, geralmente precisamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

A equação dada é . Vamos reescrever como para facilitar a separação das variáveis:

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis e para lados opostos da equação. Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em termos de e a do lado direito em termos de :

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro. Sabemos que é igual a , e a integral de é . Então:
Aqui, usamos a substituição , então , e dividimos por 3.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Usamos a identidade trigonométrica :

Passo 7

Agora, igualamos as duas integrais e combinamos as constantes e em uma constante geral :

Passo 8

Para isolar , multiplicamos ambos os lados por 3:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Agora, aplicamos a função arco-tangente para ambos os lados para resolver para :

Passo 10

Finalmente, dividimos ambos os lados por 3 para obter a expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é a constante de integração.

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