Identifique as sequências que representam progressões geométricas:
a) (3,12,48,192,…)
b) (-3,6,-12,24,-48,…)
c) (5,15,75,375,…)
d) (√2, 2, 2√2, 4,…)
e) (-1/3 , -1/6 , -1/12 , -1/24,…)
f) (√3, 2√3,3√3,4√3,…)
a) (3,12,48,192,…)
b) (-3,6,-12,24,-48,…)
c) (5,15,75,375,…)
d) (√2, 2, 2√2, 4,…)
e) (-1/3 , -1/6 , -1/12 , -1/24,…)
f) (√3, 2√3,3√3,4√3,…)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar quais das sequências apresentadas são progressões geométricas. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números onde cada termo, depois do primeiro, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa, chamada de razão
. Para resolver isso, vamos analisar cada sequência e verificar se a razão entre um termo e o anterior é sempre a mesma.
Passo 2
Sequência a) (3, 12, 48, 192, …)
Primeiro, vamos encontrar a razão entre os termos:
- $ \frac{12}{3} = 4 $
- $ \frac{48}{12} = 4 $
- $ \frac{192}{48} = 4 $
Como a razão é sempre 4, essa sequência é uma progressão geométrica.
Passo 3
Sequência b) (-3, 6, -12, 24, -48, …)
Vamos calcular a razão:
- $ \frac{6}{-3} = -2 $
- $ \frac{-12}{6} = -2 $
- $ \frac{24}{-12} = -2 $
- $ \frac{-48}{24} = -2 $
A razão é constante e igual a -2. Portanto, essa também é uma progressão geométrica.
Passo 4
Sequência c) (5, 15, 75, 375, …)
Calculando a razão:
- $ \frac{15}{5} = 3 $
- $ \frac{75}{15} = 5 $
- $ \frac{375}{75} = 5 $
Aqui, a primeira razão é 3 e as seguintes são 5. Como a razão não é constante em toda a sequência, essa não é uma progressão geométrica.
Passo 5
Sequência d) (
, 2,
, 4, …)
Vamos ver a razão:
- $ \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $ (pois
) - $ \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $
- $ \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} $
A razão é sempre
. Então, essa sequência é uma progressão geométrica.
Passo 6
Sequência e)
Vamos calcular as razões:
- $ \frac{-\frac{1}{6}}{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} $
- $ \frac{-\frac{1}{12}}{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{2} $
- $ \frac{-\frac{1}{24}}{-\frac{1}{12}} = \frac{1}{2} $
A razão é constante e igual a
. Portanto, essa é uma progressão geométrica.
Passo 7
Sequência f) (
,
,
,
, …)
Vamos verificar a razão:
- $ \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 $
- $ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2} $
- $ \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3} $
Aqui, as razões são 2,
, e
, que não são iguais. Logo, essa não é uma progressão geométrica.
Resposta
As sequências que representam progressões geométricas são:
- a) (3, 12, 48, 192, …)
- b) (-3, 6, -12, 24, -48, …)
- d) (
, 2, , 4, …) - e)