Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r(u, v) = 2 sen(u) i + 3 cos(u) j + v k, 0 <= v <= 2

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma equação paramétrica definida por , onde . O conteúdo aqui envolve parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as componentes da equação paramétrica com as equações das superfícies conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da equação paramétrica para identificar as coordenadas x, y e z em função dos parâmetros u e v:

Passo 3

Observamos que z é igual a v e que v varia de 0 a 2. Isso indica que a superfície se estende verticalmente no eixo z de 0 a 2.

Passo 4

Agora, vamos relacionar x e y para identificar a forma da base da superfície. Dividindo x por 2 e y por 3, temos:

Passo 5

Sabemos que . Vamos aplicar isso às equações acima:
Essa é a equação de uma elipse no plano xy.

Passo 6

Como z varia de 0 a 2 e a base no plano xy é uma elipse, a superfície formada é um cilindro elíptico que se estende verticalmente entre e .

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico definido pela equação , estendendo-se verticalmente no eixo z de 0 a 2.

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